東京大学 1984年度文理共通数学文科第4問・理科第5問解答・解説

問題

各世代ごとに，各個体が，他の個体とは独立に，確率 $p$ で1個，確率 $1 - p$ で2個の新しい個体を次の世代に残し，それ自身は消滅する細胞がある．いま，第0世代に1個であった細胞が，第 $n$ 世代に $m$ 個となる確率を， $P_{n} (m)$ とかくことにしよう．
$n$ を自然数とするとき， $P_{n} (1)$ ， $P_{n} (2)$ ， $P_{n} (3)$ を求めよ．% 図は省略

出典：東京大学 1984年度前期日程第2次学力試験文理共通文科第4問・理科第5問

方針

個体数が $1, 2, 3$ になるには、2個を残す分岐がそれぞれ $0, 1, 2$ 回だけ起こればよい。 $P_{n} (1)$ と $P_{n} (2)$ は分岐する世代を直接数える。 $P_{n} (3)$ は、すでに3個になった後は全てが1個ずつ残す必要があるので、 $P_{n + 1} (3) = p^{3} P_{n} (3) + 2 p (1 - p) P_{n} (2)$ という漸化式で求める。

解答

以下 $q = 1 - p$ とおく。

$P_{n} (1)$

第 $n$ 世代で1個であるためには、各世代でただ1個の個体が1個だけ次世代に残り続ける必要がある。したがって $P_{n} (1) = p^{n}$ である。

$P_{n} (2)$

第 $n$ 世代で2個であるためには、どこか1つの世代で1個の個体が2個を残し、それ以外では存在する全ての個体が1個ずつ残せばよい。分岐が起こる世代を $k$ とする。ただし $k = 0, 1, \dots, n - 1$ である。第 $k$ 世代まで1個で続き、そこで2個に分かれ、その後 $n - k - 1$ 世代は2個がそれぞれ1個ずつ残るので $P_{n} (2) = \sum_{k = 0}^{n - 1} p^{k} q p^{2 (n - k - 1)}$ である。整理すると

P_{n} (2) = q k = 0 \sum n - 1 p^{2 n - 2 - k} = q p^{n - 1} j = 0 \sum n - 1 p^{j} = p^{n - 1} (1 - p^{n})

である。これは $p = 1$ のときも $0$ を与える。

$P_{n} (3)$

第 $n + 1$ 世代で3個である場合を考える。第 $n$ 世代ですでに3個で、3個すべてが1個ずつ残す場合の確率は $p^{3} P_{n} (3)$ である。また、第 $n$ 世代で2個で、そのうち1個だけが2個を残し、もう1個が1個を残す場合も第 $n + 1$ 世代で3個になる。この確率は $2 pq P_{n} (2)$ である。よって $P_{n + 1} (3) = p^{3} P_{n} (3) + 2 pq P_{n} (2), P_{0} (3) = 0$ である。

これを繰り返すと $P_{n} (3) = \sum_{j = 1}^{n - 1} p^{3 (n - 1 - j)} 2 pq P_{j} (2)$ である。上で求めた $P_{j} (2) = p^{j - 1} (1 - p^{j})$ を代入して $P_{n} (3) = 2 (1 - p) \sum_{j = 1}^{n - 1} p^{3 n - 3 - 2 j} (1 - p^{j})$ となる。さらに等比数列の和を用いれば

P_{n} (3) = 2 (1 - p) {p^{n - 1} \frac{1 - p ^{2 n - 2}}{1 - p ^{2}} - p^{2 n - 2} \frac{1 - p ^{n - 1}}{1 - p}}

である。ただし $p = 1$ のときは毎回1個しか残らないので $P_{n} (2) = P_{n} (3) = 0$ である。

東京大学 1984年度文理共通数学 文科第4問・理科第5問

問題

方針

解答

Pn​(1)

Pn​(2)

Pn​(3)

東京大学 1984年度
文理共通数学文科第4問・理科第5問

$P_{n} (1)$

$P_{n} (2)$

$P_{n} (3)$