問題
空間内の点の集合に含まれ，原点において軸に接し，平面と45の傾きをなす，半径1の円板がある．座標がの位置にある点光源により，平面上に投ぜられた円板の影をとする．
i) の輪郭を表す平面上の曲線の方程式を求めよ．
ii) 円板と影の間にはさまれ，光の届かない部分のつくる立体の体積を求めよ．
% 図は省略
出典：東京大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文科第3問・理科第1問
方針
円板 は、平面 上で、中心 、半径 の円板として置ける。まず円周上の点を媒介変数で表し、光源 とその点を結ぶ直線が 平面と交わる点を求めて、 を消去する。体積は、光源を頂点、影 を底面とする立体から、光源を頂点、円板 を底面とする立体を引く。
解答
i)
円板 は 平面と の傾きをなし、原点で 軸に接している。したがって、平面 上で
とおけば、これは円板 の円周を表す。
光源を とする。直線 上の点は と表される。この点が 平面上にあるとき、 座標が であるから である。これを解くと となる。したがって影の輪郭上の点 は
である。
この式から
を得る。よって に代入して となる。整理すると であり、 を得る。これが影 の輪郭を表す曲線である。
ii)
影 は半径 の円板であり、光源 から 平面までの距離は である。したがって、 を頂点、 を底面とする立体の体積は である。
一方、円板 の面積は である。また のある平面は であり、点 からこの平面までの距離は である。よって、 を頂点、 を底面とする立体の体積は である。
求める光の届かない部分は、前者から後者を除いた部分である。したがって体積は である。