問題
関数を考える。座標平面において，軸と平行な直線は曲線上の相異なる2点における接線であるとする。以下の問いに答えよ。
(1) 関数の極値を求め，のグラフをかけ。
(2) 直線の方程式を求めよ。なお，解答は答えのみでよい。
(3) 直線と異なる直線は曲線とちょうど2つの共有点をもち，かつ軸と平行であるとする。直線と曲線で囲まれる部分の面積をとし，直線と曲線で囲まれる部分の面積をとするとき，が成り立つことを示せ。
方針
まず を調べ，グラフの概形と水平な接線を求める。2点で接する水平線は左右対称な極小点を通る直線である。面積 は偶関数性を利用して半分を積分する。もう一つの水平線 がグラフとちょうど2点で交わる条件は， と表せる。このとき交点の正の 座標を とおくと， であり，面積 を の式で表せる。最後に を使って の下限を評価し， と比較する。
解答
(1) 関数 の導関数は である。したがって停留点は である。それぞれの値は
である。
また は偶関数であり， が十分大きいと である。よってグラフは 軸対称で， で極大， で極小をとる。2つの異なる点で接する水平な直線は，この2つの極小点を通る直線であるから， である。
(2) 直線 とグラフで囲まれる部分は， にある。この区間では であり，面積 は である。偶関数性を用いると である。計算すると であり， とおくと ， だから
となる。したがって である。
(3) 直線 を とおく。方程式 がちょうど2つの実数解をもつ条件を考える。グラフの概形より， のとき，左右対称に2つの交点だけが現れる。逆に では4点， では3点， では接点を含めて2点だがその直線はすでに である。ここでは は とは異なるもう一つの水平線なので，対象となるのは である。
正の交点の 座標を とする。このとき だから であり， である。直線 とグラフで囲まれる面積を とすると，対称性より である。 を代入して となる。よって
であり，
である。 であるから， である。したがって である。一方，(2)より である。よって が成り立つ。