東北大学 2026年度文系数学第3問解答・解説

問題

平面上の三角形 $O A B$ において $a = O A$ ， $b = O B$ とおき，次が成り立つとする。

∣ a ∣ = 2, ∣ b ∣ = 5, a \cdot b = 1

$s, t$ は $0 < s < 1, 0 < t < 1$ を満たす実数とし，辺 $O A$ を $s : (1 - s)$ に内分する点を $D$ ，辺 $O B$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $E$ とする。また，線分 $A E$ と線分 $B D$ の交点を $F$ とし，これら2つの線分は点 $F$ において直交しているとする。以下の問いに答えよ。

(1) $t$ を $s$ を用いて表せ。また， $s$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $O F$ を $a, b$ および $s$ を用いて表せ。

(3) 平面上の点 $P$ で

∣ O P ∣^{2} + 2 F P \cdot A B = 4

を満たすもの全体が半径3の円をなすための必要十分条件を $O F, a, b$ を用いて表せ。また，この必要十分条件が成り立つとき， $s$ の値を求めよ。

出典：東北大学 2026年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

直線 $A E$ と $B D$ の方向ベクトルをそれぞれ $t b - a$ ， $s a - b$ と表す。直交条件はこれらの内積が0であることなので，まず $s, t$ の関係式を得る。交点 $F$ は， $A E$ 上の点と $B D$ 上の点を係数つきで等置して求める。最後の軌跡条件は，点 $P$ の位置ベクトルを $p$ とし，式を平方完成して円の中心と半径を読み取る。半径が3である条件は， $O F \cdot (b - a) = 0$ に帰着する。

解答

(1) 点 $D, E$ の位置ベクトルは

O D = s a, O E = t b

である。直線 $A E$ の方向ベクトルは $t b - a$ であり，直線 $B D$ の方向ベクトルは $s a - b$ である。2直線が直交するので，これらの内積は0である。したがって $(t b - a) \cdot (s a - b) = 0$ である。

与えられた条件

∣ a ∣^{2} = 2, ∣ b ∣^{2} = 5, a \cdot b = 1

を用いると，

(t b - a) \cdot (s a - b) = s t (a \cdot b) - t ∣ b ∣^{2} - s ∣ a ∣^{2} + a \cdot b

より $s t - 5 t - 2 s + 1 = 0$ となる。これを $t$ について解くと $t (s - 5) = 2 s - 1$ であるから， $t = \frac{1 - 2 s}{5 - s}$ を得る。

条件 $0 < s < 1$ ， $0 < t < 1$ を調べる。 $0 < s < 1$ では $5 - s > 0$ であるから， $t > 0$ となる条件は $1 - 2 s > 0$ すなわち $0 < s < \frac{1}{2}$ である。またこの範囲では $0 < 1 - 2 s < 5 - s$ が成り立つので $t < 1$ も満たされる。よって求める $s$ の範囲は $0 < s < \frac{1}{2}$ である。

(2) 交点 $F$ を直線 $A E$ 上で $O F = (1 - λ) a + λ t b$ と表す。また直線 $B D$ 上で $O F = (1 - μ) b + μ s a$ と表す。 $a, b$ は三角形を作る2辺のベクトルなので一次独立であり，係数を比較できる。よって $1 - λ = μ s, λ t = 1 - μ$ である。

これを解くと， $λ = \frac{1 - s}{1 - s t}, μ = \frac{1 - t}{1 - s t}$ となる。したがって

O F = \frac{s ( 1 - t )}{1 - s t} a + \frac{t ( 1 - s )}{1 - s t} b

である。

ここに $t = \frac{1 - 2 s}{5 - s}$ を代入する。まず $1 - t = 1 - \frac{1 - 2 s}{5 - s} = \frac{4 + s}{5 - s},$ また

1 - s t = 1 - s \frac{1 - 2 s}{5 - s} = \frac{5 - s - s + 2 s ^{2}}{5 - s} = \frac{2 s ^{2} - 2 s + 5}{5 - s}

である。よって $a$ の係数は $\frac{s ( 1 - t )}{1 - s t} = \frac{s ( s + 4 )}{2 s ^{2} - 2 s + 5}$ である。

同様に $b$ の係数は

\frac{t ( 1 - s )}{1 - s t} = \frac{( 1 - 2 s ) ( 1 - s )}{2 s ^{2} - 2 s + 5} = \frac{( s - 1 ) ( 2 s - 1 )}{2 s ^{2} - 2 s + 5}

である。したがって

O F = \frac{s ( s + 4 )}{2 s ^{2} - 2 s + 5} a + \frac{( s - 1 ) ( 2 s - 1 )}{2 s ^{2} - 2 s + 5} b

である。

(3) 点 $P$ の位置ベクトルを $p$ とする。条件式

∣ O P ∣^{2} + 2 F P \cdot A B = 4

をベクトルで書き直す。ここで

F P = p - O F, A B = b - a

であるから，

∣ p ∣^{2} + 2 (p - O F) \cdot (b - a) = 4

となる。すなわち

∣ p ∣^{2} + 2 p \cdot (b - a) = 4 + 2 O F \cdot (b - a)

である。左辺を平方完成すると

∣ p + b - a ∣^{2} - ∣ b - a ∣^{2} = 4 + 2 O F \cdot (b - a)

である。

ここで

∣ b - a ∣^{2} = ∣ b ∣^{2} - 2 a \cdot b + ∣ a ∣^{2} = 5 - 2 + 2 = 5

だから，軌跡は

∣ p + b - a ∣^{2} = 9 + 2 O F \cdot (b - a)

と表される。これは中心が $- b + a$ の円であり，その半径が3であるための条件は $9 + 2 O F \cdot (b - a) = 9$ すなわち $O F \cdot (b - a) = 0$ である。

(2)の結果を $O F = A a + B b$ とおく。ただし $A = \frac{s ( s + 4 )}{2 s ^{2} - 2 s + 5}, B = \frac{( s - 1 ) ( 2 s - 1 )}{2 s ^{2} - 2 s + 5}$ である。このとき

a \cdot (b - a) = 1 - 2 = - 1, b \cdot (b - a) = 5 - 1 = 4

だから， $O F \cdot (b - a) = - A + 4 B$ である。よって $- A + 4 B = \frac{- s ( s + 4 ) + 4 ( s - 1 ) ( 2 s - 1 )}{2 s ^{2} - 2 s + 5}$ であり，分子を整理すると $- s^{2} - 4 s + 8 s^{2} - 12 s + 4 = 7 s^{2} - 16 s + 4 = (s - 2) (7 s - 2)$ となる。したがって

O F \cdot (b - a) = \frac{( s - 2 ) ( 7 s - 2 )}{2 s ^{2} - 2 s + 5}

である。

分母は $2 s^{2} - 2 s + 5 = 2 (s - \frac{1}{2})^{2} + \frac{9}{2} > 0$ であるから，条件は $(s - 2) (7 s - 2) = 0$ である。(1)で得た範囲 $0 < s < 1/2$ に入るのは $s = \frac{2}{7}$ だけである。

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