東北大学 2026年度
文理共通数学 文系第2問・理系第2問

解答

(1) たとえば $a=1,b=2,c=3$ とすると，$a^2+2b^2=1^2+2\cdot 2^2=1+8=9=3^2=c^2$ である。したがって，$(a,b,c)=(1,2,3)$ は条件を満たす。

(2) (1)の解を正整数 $m$ 倍して $(a,b,c)=(m,2m,3m)$ とおく。このとき $a^2+2b^2=m^2+2(2m{)}^2=m^2+8m^2=9m^2=(3m{)}^2=c^2$ である。$m=1,2,3,\dots$ と変えると互いに異なる正整数解が得られるので，条件を満たす正整数の組は無限に存在する。

(3) まず，等式 $a^2+2b^2=c^2$ を2で割った余りで考える。平方数は2で割ると $0$ または $1$ であり，$2b^2$ は常に偶数である。したがって $a^2\equiv c^2(\mathrm{mod}2)$ であり，$a$ と $c$ の偶奇は一致する。 $a,c$ が奇数であるとする。奇数の平方は4で割ると1余るので，$a^2\equiv c^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ である。もとの等式より $2b^2=c^2-a^2$ であり，右辺は4で割り切れる。よって $2b^2$ は4で割り切れ，$b^2$ は偶数である。したがって $b$ は偶数である。

次に，$a,c$ が偶数であるとする。この場合も $2b^2=c^2-a^2$ であり，右辺は偶数の平方どうしの差だから4で割り切れる。よって $2b^2$ は4で割り切れ，$b^2$ は偶数，したがって $b$ は偶数である。

以上より，$a,c$ の偶奇にかかわらず，条件を満たす正整数解では $b$ は偶数である。

ここで，$a,c$ がともに偶数であると仮定する。上で示したことから $b$ も偶数である。そこで $a=2a_1,b=2b_1,c=2c_1$ とおくと，$a_1,b_1,c_1$ は正整数であり，もとの等式は $(2a_1{)}^2+2(2b_1{)}^2=(2c_1{)}^2$ すなわち $a_1^2+2b_1^2=c_1^2$ となる。この新しい正整数解 $(a_1,b_1,c_1)$ に対して，すでに示した結論を適用すると，$b_1$ は偶数である。したがって $b=2b_1$ は4の倍数である。