問題
座標平面上の放物線をとする。以下の問いに答えよ。
(1) 正の実数に対し，放物線の接線で点を通るものがちょうど2本あることを示せ。
(2) 正の実数に対し，放物線の相異なる2本の接線で点を通るものをとする。放物線と直線の接点をとし，放物線と直線の接点をとする。このとき，線分の垂直二等分線は軸と交わることを示せ。また，が正の実数全体を動くとき，直線と軸の交点の座標の最小値と，それを与えるの値を求めよ。
出典：東北大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第1問・理系第1問
方針
放物線上の接点を とおくと，その点での接線は で表される。点 を通る条件から，接点の 座標が満たす2次方程式を作り，2つの接点の座標を根と係数の関係で扱う。接点を直接求める必要はなく，和と積だけで線分の傾きと中点が計算できる。最後に，垂直二等分線の 軸との交点 を の2次式として表し，平方完成で最小値を求める。
解答
放物線 上の点を とする。この点における接線は， である。この接線が点 を通るための条件は すなわち である。
この2次方程式の判別式は
であるから，接点は常に2個存在する。2つの根を とおくと，根と係数の関係より である。
2つの接点を とする。線分 の傾きは である。したがって，その垂直二等分線の傾きは である。ここで なので，この値は定義できる。
次に，線分 の中点を とする。中点の座標は であり， また
である。よって である。
垂直二等分線は点 を通り，傾き をもつので， と表される。この直線と 軸との交点では であるから，その 座標を とすると である。
これを平方完成すると， となる。条件 の範囲に は含まれるので，求める最小値は である。