東北大学 2025年度文系数学第4問解答・解説

問題

$k$ を正の実数とする。曲線 $y = x (x - 2)^{2}$ と放物線 $y = k x^{2}$ で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるような $k$ の値を求めよ。

出典：東北大学 2025年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

交点は $x = 0$ と，2次方程式 $x^{2} - (4 + k) x + 4 = 0$ の2つの正の解である。これを $0 < α < 2 < β$ と置くと， $α β = 4$ ， $α + β = 4 + k$ である。2つの曲線の上下差は $x (x - α) (x - β)$ となり， $[0, α]$ と $[α, β]$ で符号が反対になる。2つの面積が等しいことは，符号付き面積 $\int_{0}^{β} x (x - α) (x - β) d x$ が0であることと同値なので， $α = 4/ β$ として $β$ を求め，最後に $k = α + β - 4$ に戻す。

解答

曲線 $y = x (x - 2)^{2}$ と放物線 $y = k x^{2}$ の交点を求める。交点の $x$ 座標は $x (x - 2)^{2} = k x^{2}$ を満たす。整理すると $x {(x - 2)^{2} - k x} = 0$ すなわち $x {x^{2} - (4 + k) x + 4} = 0$ である。したがって $x = 0$ は交点である。 $k > 0$ なので，2次方程式 $x^{2} - (4 + k) x + 4 = 0$ は正の2解をもつ。これらを $0 < α < β$ とおくと，解と係数の関係より $α + β = 4 + k, α β = 4$ である。また $α β = 4$ かつ $α + β > 4$ なので $0 < α < 2 < β$ である。

上下差を考えると $x (x - 2)^{2} - k x^{2} = x (x - α) (x - β)$ である。 $0 < x < α$ ではこれは正， $α < x < β$ では負である。したがって，2つの部分の面積が等しいことは，正負をつけた面積の和が0であること，すなわち $\int_{0}^{β} x (x - α) (x - β) d x = 0$ と同値である。 $α β = 4$ より $α = \frac{4}{β}$ である。よって

\int_{0}^{β} x (x - α) (x - β) d x = \int_{0}^{β} {x^{3} - (α + β) x^{2} + α β x} d x = \int_{0}^{β} {x^{3} - (β + \frac{4}{β}) x^{2} + 4 x} d x = \frac{β ^{4}}{4} - \frac{( β + \frac{4}{β} ) β ^{3}}{3} + 2 β^{2} = \frac{β ^{4}}{4} - \frac{β ^{4} + 4 β ^{2}}{3} + 2 β^{2} = \frac{β ^{2} ( 8 - β ^{2} )}{12}

である。これが0で， $β > 0$ だから $β^{2} = 8$ すなわち $β = 22$ である。したがって $α = \frac{4}{β} = 2$ である。

最後に $α + β = 4 + k$ より $k = α + β - 4 = 2 + 22 - 4 = 32 - 4$ である。これは正の実数である。よって求める値は $k = 32 - 4$ である。

東北大学 2025年度文系数学 第4問

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文系数学第4問