問題
四面体において，，，とする。点はを満たすとする。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 四面体の体積をとするとき，四角錐の体積をを用いて表せ。
(2) をを用いて表せ。
(3) 線分と線分の交点をとするとき，をを用いて表せ。
(4) 四面体が1辺の長さ1の正四面体のとき，線分の長さを求めよ。
方針
点 は を基準に だけ動いた点なので，平面 上にある。平面内で を原点， を2つの基準方向とすると， と見なせる。(1) はこの平面内の面積比を体積比へ移す。(3) は 上と 上の2通りで を表し，係数比較する。正四面体の場合は ，相互の内積が であることを用いて を計算する。
解答
(1)
点 は を満たすので，平面 上にある。平面 内で，点 を原点， と を基準の2方向として座標を考える。このとき と表せる。
三角形 の面積は，この座標で に対応する。一方，四角形 の面積は，頂点を の順に見て，三角形 と三角形 に分けると である。したがって である。よって である。
四角錐 と四面体 は，頂点 から平面 への高さが同じである。したがって体積比は底面積比に等しく，四角錐 の体積は である。
(2)
であるから
である。したがって
より である。
(3)
点 は線分 上にあるので，ある実数 を用いて
と表せる。すなわち である。
一方，点 は線分 上にもある。線分 上の点は の係数の和が1で， の成分をもたない形で表される。したがって上の式で の係数が0でなければならない。よって から である。したがって である。これは係数がどちらも 以上で和が1なので，確かに線分 上の点を表している。ゆえに である。
(4)
四面体 が1辺の長さ1の正四面体であるから であり，また三角形 はすべて正三角形なので である。(2)より だから
である。したがって である。