東北大学 2025年度文理共通数学文系第2問・理系第2問解答・解説

問題

正の実数からなる2つの数列 ${x_{n}}$ ， ${y_{n}}$ を次のように定める。

x_{1} = 2, y_{1} = \frac{1}{2}, x_{n + 1} = (x_{n})^{5} \cdot (y_{n})^{2}, y_{n + 1} = x_{n} \cdot (y_{n})^{6}

このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $k$ を実数とする。 $a_{n} = lo g_{2} x_{n}, b_{n} = lo g_{2} y_{n}$ とおく。このとき，数列 ${a_{n} + k b_{n}}$ が等比数列になるような $k$ の値をすべて求めよ。

(2) 数列 ${x_{n}}$ の一般項を求めよ。

出典：東北大学 2025年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第2問・理系第2問

方針

正の数列なので，底を2とする対数を取って $(a_{n}, b_{n})$ の連立一次漸化式に直す。 $a_{n} + k b_{n}$ が等比数列になるには，次の項 $a_{n + 1} + k b_{n + 1}$ が常に $a_{n} + k b_{n}$ の定数倍である必要があるため， $a_{n}, b_{n}$ の係数を比較する。得られる $k = 2, - 1$ に対して2本の等比数列 $a_{n} + 2 b_{n}$ ， $a_{n} - b_{n}$ を作り，その連立から $a_{n}$ を復元して $x_{n} = 2^{a_{n}}$ に戻す。

解答

(1)

$a_{n} = lo g_{2} x_{n}, b_{n} = lo g_{2} y_{n}$ とおく。 $x_{n}, y_{n}$ は正なので対数を取ることができる。与えられた漸化式 $x_{n + 1} = x_{n}^{5} y_{n}^{2}, y_{n + 1} = x_{n} y_{n}^{6}$ の両辺の底2の対数を取ると $a_{n + 1} = 5 a_{n} + 2 b_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + 6 b_{n}$ である。 $a_{n} + k b_{n}$ が公比 $r$ の等比数列になるとする。このとき，すべての $n$ について $a_{n + 1} + k b_{n + 1} = r (a_{n} + k b_{n})$ が成り立つ。左辺を $a_{n}, b_{n}$ で表すと $a_{n + 1} + k b_{n + 1} = (5 a_{n} + 2 b_{n}) + k (a_{n} + 6 b_{n}) = (5 + k) a_{n} + (2 + 6 k) b_{n}$ である。したがって $(5 + k) a_{n} + (2 + 6 k) b_{n} = r a_{n} + r k b_{n}$ となるので，係数を比較して $r = 5 + k, 2 + 6 k = r k$ である。 $r = 5 + k$ を代入すると $2 + 6 k = k (5 + k)$ すなわち $k^{2} - k - 2 = 0$ である。よって $(k - 2) (k + 1) = 0$ より $k = 2, - 1$ である。

(2)

初期値は $a_{1} = lo g_{2} 2 = 1, b_{1} = lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1$ である。(1) の結果を具体的に用いる。 $k = 2$ のとき，公比は $r = 5 + 2 = 7$ であり， $a_{n + 1} + 2 b_{n + 1} = 7 (a_{n} + 2 b_{n})$ である。初期値は $a_{1} + 2 b_{1} = 1 + 2 (- 1) = - 1$ だから $a_{n} + 2 b_{n} = - 7^{n - 1}$ である。 $k = - 1$ のとき，公比は $r = 5 - 1 = 4$ であり， $a_{n + 1} - b_{n + 1} = 4 (a_{n} - b_{n})$ である。初期値は $a_{1} - b_{1} = 1 - (- 1) = 2$ だから $a_{n} - b_{n} = 2 \cdot 4^{n - 1}$ である。

ここで

{a_{n} + 2 b_{n} = - 7^{n - 1}, a_{n} - b_{n} = 2 \cdot 4^{n - 1}

を解く。第2式から $b_{n} = a_{n} - 2 \cdot 4^{n - 1}$ であり，これを第1式に代入して $a_{n} + 2 (a_{n} - 2 \cdot 4^{n - 1}) = - 7^{n - 1}$ すなわち $3 a_{n} = 4 \cdot 4^{n - 1} - 7^{n - 1} = 4^{n} - 7^{n - 1}$ である。よって $a_{n} = \frac{4 ^{n} - 7 ^{n - 1}}{3}$ である。したがって $x_{n} = 2^{a_{n}} = 2^{\frac{4 ^{n} - 7 ^{n - 1}}{3}}$ である。

別解。 $x_{n}$ の一般項だけを求めるなら， $a_{n}$ だけの漸化式にしてもよい。連立漸化式 $a_{n + 1} = 5 a_{n} + 2 b_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + 6 b_{n}$ から，第一式より $2 b_{n} = a_{n + 1} - 5 a_{n}$ である。次に $a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} + 2 b_{n + 1} = 5 a_{n + 1} + 2 a_{n} + 12 b_{n}$ であり， $12 b_{n} = 6 (a_{n + 1} - 5 a_{n})$ を代入すると $a_{n + 2} = 11 a_{n + 1} - 28 a_{n}$ を得る。初期値は $a_{1} = 1, a_{2} = 5 a_{1} + 2 b_{1} = 5 - 2 = 3$ である。したがって特性方程式 $λ^{2} - 11 λ + 28 = 0$ すなわち $(λ - 4) (λ - 7) = 0$ から $a_{n} = A 4^{n - 1} + B 7^{n - 1}$ とおける。 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ を代入すると $A + B = 1, 4 A + 7 B = 3$ であり，これを解いて $A = \frac{4}{3}, B = - \frac{1}{3}$ である。よって $a_{n} = \frac{4 ^{n} - 7 ^{n - 1}}{3}$ となり，同じく $x_{n} = 2^{\frac{4 ^{n} - 7 ^{n - 1}}{3}}$ を得る。

東北大学 2025年度文理共通数学 文系第2問・理系第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

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