東北大学 2025年度文理共通数学文系第1問・理系第1問解答・解説

問題

原点を出発点として数直線上を動く点Pがある。試行(＊)を次のように定める。

(＊) 1枚の硬貨を1回投げて，
●表が出た場合は点Pを正の向きに1だけ進める。
●裏が出た場合は1個のさいころを1回投げ，
奇数の目が出た場合は点Pを正の向きに1だけ進め，
偶数の目が出た場合は点Pを負の向きに2だけ進める。

ただし，硬貨を投げたとき表裏の出る確率はそれぞれ $\frac{1}{2}$ ，さいころを投げたとき1から6までの整数の目の出る確率はそれぞれ $\frac{1}{6}$ とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) 試行(＊)を3回繰り返した後に，点Pが原点にもどっている確率を求めよ。

(2) 試行(＊)を6回繰り返した後に，点Pが原点にもどっている確率を求めよ。

(3) $n$ を3で割り切れない正の整数とする。試行(＊)を $n$ 回繰り返した後に，点Pが原点にもどっている確率を求めよ。

出典：東北大学 2025年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第1問・理系第1問

方針

1回の試行で実際に起こる移動は， $+ 1$ と $- 2$ の2種類だけである。まずそれぞれの確率をまとめ， $- 2$ になる回数を $j$ とおく。 $n$ 回後の位置は， $+ 1$ が $n - j$ 回， $- 2$ が $j$ 回なので $(n - j) - 2 j = n - 3 j$ である。原点に戻るには $n = 3 j$ が必要で，(1)，(2) では対応する $j$ を二項分布で数え，(3) では $n$ が3で割り切れないため到達不可能と判断する。

解答

1回の試行で点 $P$ が正の向きに1だけ進むのは，硬貨で表が出る場合，または硬貨で裏が出てさいころで奇数が出る場合である。したがってその確率は $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ である。また，負の向きに2だけ進むのは，硬貨で裏が出てさいころで偶数が出る場合なので，その確率は $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{4}$ である。よって，1回の試行は $+ 1 が確率 \frac{3}{4}, - 2 が確率 \frac{1}{4}$ で起こると見ればよい。

(1)

3回の試行のうち， $- 2$ だけ進む回数を $j$ とする。このとき $+ 1$ だけ進む回数は $3 - j$ 回であり，3回後の位置は $(3 - j) - 2 j = 3 - 3 j$ である。原点に戻るには $3 - 3 j = 0$ すなわち $j = 1$ であればよい。したがって求める確率は

_{3} C_{1} (\frac{1}{4})^{1} (\frac{3}{4})^{2} = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{16} = \frac{27}{64}

である。

(2)

6回の試行のうち， $- 2$ だけ進む回数を $j$ とする。このとき6回後の位置は $(6 - j) - 2 j = 6 - 3 j$ である。原点に戻るには $6 - 3 j = 0$ すなわち $j = 2$ であればよい。したがって求める確率は

_{6} C_{2} (\frac{1}{4})^{2} (\frac{3}{4})^{4} = 15 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{81}{256} = \frac{1215}{4096}

である。

(3)

$n$ 回の試行のうち， $- 2$ だけ進む回数を $j$ とする。このとき $+ 1$ だけ進む回数は $n - j$ 回であり， $n$ 回後の位置は $(n - j) - 2 j = n - 3 j$ である。原点に戻るには $n - 3 j = 0$ すなわち $n = 3 j$ が必要である。しかし，問題では $n$ は3で割り切れない正の整数であるから，この等式を満たす整数 $j$ は存在しない。したがって原点に戻ることは不可能であり，求める確率は $0$ である。

東北大学 2025年度文理共通数学 文系第1問・理系第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

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文理共通数学文系第1問・理系第1問