東北大学 2024年度
文系数学 第2問

解答

(1)

加法定理より

である。$\tan 45^{\circ }=1,\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$を代入すると

である。

(2)

三角形$AOD$は$O$で直角であり，$AO=a,OD=d$である。$\angle OAD=15^{\circ }$だから $\tan 15^{\circ }=\frac{OD}{AO}=\frac{d}{a}$ である。また，$15^{\circ }$と$75^{\circ }$は余角なので $\tan 15^{\circ }=\frac{1}{\tan 75^{\circ }}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$ である。よって $\frac{d}{a}=2-\sqrt{3},a=\frac{d}{2-\sqrt{3}}=d(2+\sqrt{3})$ となる。

同様に，三角形$BOD$について$\angle OBD=75^{\circ }$より $\tan 75^{\circ }=\frac{OD}{BO}=\frac{d}{b}=2+\sqrt{3}$ であるから $b=\frac{d}{2+\sqrt{3}}=d(2-\sqrt{3})$ である。ここで $a-b=d\{(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})\}=2\sqrt{3}d$ であり，図の位置関係から$AB=a-b=6$である。したがって $2\sqrt{3}d=6,d=\sqrt{3}$ である。よって $a=\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=3+2\sqrt{3},b=\sqrt{3}(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}-3$ である。

(3)

円$C$は$OD$を直径とする円である。点$P$は円$C$上にあり，$P\ne D$だから，直径に対する円周角より $\angle OPD=90^{\circ }$ である。一方，$AO$は$x$軸上，$OD$は$y$軸上にあるので $\angle AOD=90^{\circ }$ である。また，$P$は線分$AD$上にあるから，$AP$と$AD$は同じ直線上にあり，$\angle OAP=\angle OAD$ である。したがって，直角三角形$△AOP$と$△ADO$は相似である。

対応する辺を比べると，斜辺に対応するのは$AO$と$AD$，また$AP$に対応するのは$AO$であるから $\frac{AP}{AO}=\frac{AO}{AD}$ である。よって $AP\cdot AD=A{O}^2$ が成り立つ。

同じ理由で，点$Q$についても$\angle OQD=90^{\circ }$であり，直角三角形$△BOQ$と$△BDO$は相似である。したがって $\frac{BQ}{BO}=\frac{BO}{BD}$ となり，$BQ\cdot BD=B{O}^2$ が成り立つ。

(4)

(3)より

である。したがって $AP\cdot BQ=\frac{a^2{b}^2}{AD\cdot BD}$ である。

三角形$AOD$で$AD$は斜辺であり，$AO=a$だから $\cos 15^{\circ }=\frac{a}{AD},AD=\frac{a}{\cos 15^{\circ }}$ である。同様に $BD=\frac{b}{\cos 75^{\circ }}$ である。よって

となる。

(2)の値から $ab=(3+2\sqrt{3})(2\sqrt{3}-3)=12-9=3$ である。また積和公式により

である。したがって $AP\cdot BQ=3\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ である。