東北大学 2024年度文理共通数学文系第3問・理系第2問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) $t$ を $t > 1$ を満たす実数とする。正の実数 $x$ が2つの条件

(a) $x > \frac{1}{t - 1}$

(b) $x ≧ 2 lo g_{t} x$

をともに満たすとする。このとき，不等式

x + 1 > 2 lo g_{t} (x + 1)

を示せ。

(2) $n ≦ 2 lo g_{2} n$ を満たす正の整数 $n$ をすべて求めよ。

出典：東北大学 2024年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第3問・理系第2問

方針

(1)は示したい差 $(x + 1) - 2 lo g_{t} (x + 1)$ を，条件(b)で下から押さえられる $x - 2 lo g_{t} x$ と，条件(a)から正になる $1 - 2 lo g_{t} (1 + 1/ x)$ に分ける。条件(a)は逆数をとって $1 + 1/ x < t$ へ変形するのが決め手である。(2)は小さい $n$ を直接判定し， $n = 5$ で不成立を確認した後，(1)を $t = 2$ で用いて「ある整数で不成立なら次も不成立」を $n ≧ 5$ に伝播させる。

解答

(1)

示したい不等式の左辺との差を考える。対数の性質より $lo g_{t} (x + 1) = lo g_{t} x + lo g_{t} (1 + \frac{1}{x})$ であるから，

(x + 1) - 2 lo g_{t} (x + 1) = x + 1 - 2 lo g_{t} x - 2 lo g_{t} (1 + \frac{1}{x}) = (x - 2 lo g_{t} x) + {1 - 2 lo g_{t} (1 + \frac{1}{x})}

である。

条件(b)より $x - 2 lo g_{t} x ≧ 0$ である。次に条件(a)を使う。 $x > 0$ なので， $x > \frac{1}{t - 1}$ から，両辺の逆数をとって $\frac{1}{x} < t - 1$ である。よって $1 + \frac{1}{x} < t$ となる。 $t > 1$ なので，底 $t$ の対数は増加関数であり， $lo g_{t} (1 + \frac{1}{x}) < lo g_{t} t = \frac{1}{2}$ を得る。したがって $1 - 2 lo g_{t} (1 + \frac{1}{x}) > 0$ である。

以上より $(x + 1) - 2 lo g_{t} (x + 1) > 0$ となるから， $x + 1 > 2 lo g_{t} (x + 1)$ が示された。

(2)

まず小さい正の整数を調べる。 $1 ≦ 2 lo g_{2} 1 = 0$ は成り立たない。 $2 = 2 lo g_{2} 2, 3 < 2 lo g_{2} 3, 4 = 2 lo g_{2} 4$ であるから， $n = 2, 3, 4$ は条件を満たす。

次に $n ≧ 5$ では条件を満たさないことを示す。まず $2 lo g_{2} 5 < 5$ を確認する。これは $lo g_{2} 5 < \frac{5}{2}$ すなわち $5 < 2^{5/2} = 42$ と同値であり， $25 < 32$ より正しい。したがって $n = 5$ は不成立である。

ここで，ある正の実数 $x$ について $x > 2 lo g_{2} x$ かつ $x > \frac{1}{2 - 1} = 2 + 1$ が成り立つなら，(1)を $t = 2$ に適用できる。条件(b)は $x ≧ 2 lo g_{2} x$ として満たされ，条件(a)も満たされるので， $x + 1 > 2 lo g_{2} (x + 1)$ が従う。

$n = 5$ では $5 > 2 lo g_{2} 5$ であり，また $5 > 2 + 1$ である。よって上の議論を $x = 5, 6, 7, \dots$ に順に用いると，すべての $n ≧ 5$ について $n > 2 lo g_{2} n$ となる。したがって，条件 $n ≦ 2 lo g_{2} n$ を満たす正の整数は $2, 3, 4$ である。

東北大学 2024年度文理共通数学 文系第3問・理系第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2024年度
文理共通数学文系第3問・理系第2問