問題
を正の実数とし，とする。を原点とする平面上の放物線の頂点をとする。直線との交点のうちと異なるものをとし，からへ引いた接線の接点をとする。ただし，とする。
(1) の値をを用いて表せ。また，であることを示せ。
(2) 放物線のの部分，線分，および線分で囲まれた図形の面積をとおく。をを用いて表せ。
(3) (2)のに対し，となるときのの値を求めよ。
方針
頂点と接線を先に確定し，囲まれる図形をどの直線・曲線で分けるかを明確にする。頂点は平方完成で求め，は直線と放物線の交点，は原点を通る接線条件で決める。面積はでは線分と線分の間，では線分と放物線の間に分かれるので，この2つの積分を丁寧に計算する。最後はに代入し，から正の解だけを採用する。
解答
(1)
平方完成すると であるから，放物線の頂点は である。よって，とを通る直線の方程式は である。
はこの直線との交点のうちでない点であるから， を解く。整理して となる。は頂点に対応するので， である。
次に，における接線が原点を通る条件を立てる。接線の傾きは であり，接線の方程式は である。これが原点を通るので，を代入して を得る。したがって であり，右辺を移項すると である。より となる。以上より である。
(2)
線分はとを結ぶ。実際にであるから，その方程式は である。また，線分は原点とを結ぶ。なので，その方程式は である。
囲まれた図形は，では2本の直線の間，では直線と放物線の間である。よって である。すなわち となる。
第1項は である。第2項は
である。したがって である。
別解。とおくと，放物線は，直線は，接線はに変わり，図形の形はの場合と相似になる。面積は横方向に倍，縦方向に倍されるので倍である。のときであり， だから，一般のでもと分かる。
(3)
を(2)の式に代入すると である。両辺にをかけて を得る。であるから である。