問題
半径1の円を底面とする高さがの直円柱と，半径がの球を考える。直円柱の底面の円の中心と球の中心が一致するとき，直円柱の内部と球の内部の共通部分の体積を求めよ。
出典：東北大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
球の中心を原点、円柱を と置く。高さ で切った断面は、半径1の円板と半径 の円板の共通部分であり、小さい方の面積を積分する。球の断面半径が1になる高さ 、球の上端 、円柱の上端 の位置関係から、 を境に場合分けする。
解答
球の中心を原点、円柱の底面を の平面上に置く。円柱は であり、球は である。
高さ で水平に切ると、円柱の断面は半径 の円板であり、球の断面は で半径 の円板である。したがって共通部分の断面積は、これら2つの円板の小さい方の面積になる。
(i)
のとき、球の上半分は常に半径 の円柱の内側に入る。したがって共通部分は半径 の球の上半球であり、 である。
(ii)
のとき、球は円柱の上端 まで届かないか、ちょうど届く。球の断面半径が になる高さは より である。したがって では円柱の断面全体が入り、 では球の断面が入る。よって である。計算すると である。
(iii)
のとき、球は円柱の上端より高くまで伸びるが、円柱全体を含むほど大きくはない。したがって積分の上端は ではなく、円柱の上端 で止まる。 では円柱の断面全体、 では球の断面が共通部分になるので である。これを整理して を得る。
(iv)
のとき、円柱内の点で球の中心から最も遠いものは、上面の円周上にあり、その距離は である。したがって なら円柱全体が球に含まれる。よって共通部分は円柱全体であり、 である。
以上より
である。