問題
座標空間内において，ベクトル
が定める2直線
を考える。点を原点とし，点から直線に下ろした垂線をとおく。次に，点から直線に下ろした垂線をとおく。同様に，点から直線に下ろした垂線を，点から直線に下ろした垂線をとする手順を繰り返して，点， （は正の整数）を定める。
(1) を用いてを表せ。
(2) 極限値を求めよ。
(3) (2)で求めたに対して，点をそれぞれとおくと，直線は2直線の両方と直交することを示せ。
方針
各垂線条件を、対応する直線の方向ベクトルとの内積が0である条件として書く。 から への垂線で を で表し、 から への垂線で を で表す。これにより の1次漸化式を得る。極限は収束する1次漸化式の不動点として求め、最後に極限点を結ぶベクトルが両方向ベクトルに垂直であることを内積で確認する。
解答
まず必要な内積を計算しておく。
である。
(1)
、 である。 は直線 に垂直なので、 の方向ベクトル と垂直である。したがって
である。内積を代入すると なので である。
次に、 は直線 に垂直なので、 の方向ベクトル と垂直である。したがって
である。内積を代入すると だから である。先ほどの を代入して を得る。
(2)
(1) より である。係数 の絶対値は より小さいので、 は収束する。極限を とすると である。したがって より である。
また なので、 の極限 は である。
(3)
である。直線 が と直交することを示すには、 を示せばよい。実際、
である。、 を代入すると である。
同様に、直線 が と直交することを示すには、 を示せばよい。
であり、 である。したがって直線 は2直線 の両方と直交する。
別解。(2) の極限値は、最初から共通垂線の足を求める連立方程式としても得られる。極限で 、 になると考えると、 は両直線に垂直であるはずなので
を解けばよい。これは であり、解は である。漸化式で得た極限と一致する。