問題
を正の実数とし，平面上の直線を考える。
(1) 直線と原点の距離が2以上であり，直線と直線の交点の座標が2以上であるような点のとりうる範囲を求め，平面上に図示せよ。
(2) 点が(1)で求めた範囲を動くとする。このとき，を最大にするの値と，の最大値を求めよ。
出典：東北大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
原点と直線 の距離条件を に、 との交点の 座標条件を に直す。 は正なので、第1象限の円板と半平面の共通部分を図示する。(2) は領域上で線形関数 を最大化する問題であり、まず円板条件からコーシー・シュワルツで上限を出し、等号点が半平面条件も満たすかを確認する。
解答
(1)
直線 と原点の距離は である。これが 以上である条件は すなわち である。
また、直線 と直線 の交点の 座標は より である。 なので、これが 以上である条件は すなわち である。
したがって、求める範囲 は で表される。図示すれば、 平面の第1象限で、原点中心半径 の円の内部または周上にあり、直線 の下側にある部分である。ただし座標軸上の点は により含まれない。
(2)
では である。コーシー・シュワルツの不等式より である。
等号が成り立つには、 が と同じ向きで、かつ であればよい。したがって候補は である。この点について であり、 も満たす。よってこの点は に含まれる。
したがって、 を最大にする値は であり、最大値は である。