東北大学 2022年度文系数学第2問解答・解説

問題

実数 $t$ の関数

F (t) = \int_{0}^{1} ∣ x^{2} - t^{2} ∣ d x

について考える。

(1) $0 ≦ t ≦ 1$ のとき， $F (t)$ を $t$ の整式として表せ。

(2) $t ≧ 0$ のとき， $F (t)$ を最小にする $t$ の値 $T$ と $F (T)$ の値を求めよ。

出典：東北大学 2022年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

$0 ≦ t ≦ 1$ では $x = t$ を境に $x^{2} - t^{2}$ の符号が変わるので、積分区間を $[0, t]$ と $[t, 1]$ に分ける。 $t ≧ 0$ 全体で最小を求めるため、 $0 ≦ t ≦ 1$ で得た3次式の増減と、 $t ≧ 1$ で絶対値が常に $t^{2} - x^{2}$ になる場合を別々に確認し、最後に値を比較する。

解答

(1)

$0 ≦ t ≦ 1$ とする。 $0 ≦ x ≦ t$ では $x^{2} - t^{2} ≦ 0$ 、 $t ≦ x ≦ 1$ では $x^{2} - t^{2} ≧ 0$ である。したがって $F (t) = \int_{0}^{t} (t^{2} - x^{2}) d x + \int_{t}^{1} (x^{2} - t^{2}) d x$ である。

第1項は $\int_{0}^{t} (t^{2} - x^{2}) d x = [t^{2} x - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{t} = \frac{2}{3} t^{3}$ である。第2項は

\int_{t}^{1} (x^{2} - t^{2}) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - t^{2} x]_{t}^{1} = \frac{1}{3} - t^{2} + \frac{2}{3} t^{3}

である。よって $F (t) = \frac{1}{3} - t^{2} + \frac{4}{3} t^{3}$ となる。

(2)

まず $0 ≦ t ≦ 1$ で考える。(1) より $F^{'} (t) = - 2 t + 4 t^{2} = 2 t (2 t - 1)$ である。したがって $F (t)$ は $0 < t < \frac{1}{2}$ で減少し、 $\frac{1}{2} < t < 1$ で増加する。よってこの範囲での最小は $t = \frac{1}{2}$ でとられ、その値は $F (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$ である。

次に $t ≧ 1$ とする。このとき $0 ≦ x ≦ 1$ で常に $x^{2} - t^{2} ≦ 0$ なので $F (t) = \int_{0}^{1} (t^{2} - x^{2}) d x = t^{2} - \frac{1}{3}$ である。これは $t ≧ 1$ で単調増加し、最小値は $t = 1$ のとき $F (1) = \frac{2}{3}$ である。 $\frac{1}{4} < \frac{2}{3}$ だから、 $t ≧ 0$ 全体で $F (t)$ を最小にする値は $T = \frac{1}{2}$ であり、最小値は $F (T) = \frac{1}{4}$ である。

東北大学 2022年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2022年度
文系数学第2問