東北大学 2021年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

(1)

交点では $y=-x^2+b$ かつ $x^2+y^2=1$ である。$u=x^2$ とおくと $y=b-u$ なので $u+(b-u{)}^2=1$ である。整理して $u^2+(1-2b)u+b^2-1=0$ を得る。

円と曲線が異なる4個の交点をもつためには，この $u$ の2次方程式が異なる2つの正の解をもてばよい。解の和は $2b-1$ であり，解の積は $b^2-1$ である。また判別式は $(1-2b{)}^2-4(b^2-1)=5-4b$ である。したがって必要十分条件は $2b-1>0,b^2-1>0,5-4b>0$ である。これらを合わせると $1<b<\frac{5}{4}$ である。

(2)

${\alpha }^2,{\beta }^2$ は，(1) で得た2次方程式 $u^2+(1-2b)u+b^2-1=0$ の2つの正の解であり，$0<\beta <\alpha$ である。したがって根と係数の関係より ${\alpha }^2+{\beta }^2=2b-1$ である。また2解の差は判別式の平方根に等しいので ${\alpha }^2-{\beta }^2=\sqrt{5-4b}$ である。

曲線 $C:y=-x^2+b$ は $x^2=b-y$ と書ける。高さ $y$ での水平断面を $y$ 軸のまわりに回転すると，半径 $\sqrt{b-y}$ の円板になる。領域の下端と上端はそれぞれ $y=f(\alpha )=b-{\alpha }^2,y=f(\beta )=b-{\beta }^2$ である。したがって体積 $V$ は $V=\pi {\int }_{b-{\alpha }^2}^{b-{\beta }^2}(b-y)dy$ である。

ここで $u=b-y$ とおくと $V=\pi {\int }_{{\beta }^2}^{{\alpha }^2}udu=\frac{\pi }{2}({\alpha }^4-{\beta }^4)$ である。よって

である。