東北大学 2021年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

実数 $θ, a$ は $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}, a > 0$ を満たすとし，2つの円 $C_{1}, C_{2}$ の方程式を以下で定める。

C_{1} : (x - tan θ)^{2} + (y - tan θ)^{2} = 9

C_{2} : (x - a cos θ + 1)^{2} + (y - a sin θ - 1)^{2} = 1

以下の問いに答えよ。

(1) $t = \frac{1}{cos θ}$ とおく。 $C_{1}$ の中心と $C_{2}$ の中心の間の距離を $L$ とする。 $L^{2}$ を $t$ と $a$ を用いて表せ。

(2) ある実数 $a$ に対して，2つの円 $C_{1}$ ， $C_{2}$ がただ1つの共有点をもつような $θ$ がちょうど5個存在するとする。このとき $a$ の値を求めよ。

出典：東北大学 2021年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

2円の中心を読み取り，中心間距離 $L$ を $t = 1/ cos θ$ で整理する。半径は3と1なので，ただ1つの共有点をもつ条件は外接 $L = 4$ または内接 $L = 2$ である。 $L^{2} = 2 t^{2} - 2 a t + a^{2}$ に対して $t ≧ 1$ の解を数える。 $t = 1$ は $θ = 0$ の1個， $t > 1$ は $\pm θ$ の2個に対応するため，ちょうど5個にするには $t = 1$ がどちらかの接触条件に現れる必要がある。

解答

(1)

$C_{1}$ の中心は $(tan θ, tan θ)$ であり， $C_{2}$ の中心は $(a cos θ - 1, a sin θ + 1)$ である。したがって中心間距離 $L$ の2乗は $L^{2} = (tan θ - a cos θ + 1)^{2} + (an θ - a sin θ - 1)^{2}$ である。

ここで $t = \frac{1}{cos θ}$ とおく。 $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ より $cos θ > 0$ なので $t ≧ 1$ である。上の式を整理すると

L^{2} = a^{2} + 2 (tan^{2} θ + 1) - 2 a {cos θ (tan θ + 1) + sin θ (tan θ - 1)} = a^{2} + 2 sec^{2} θ - 2 a \cdot \frac{1}{cos θ} = a^{2} - 2 a t + 2 t^{2}

である。

(2)

2つの円の半径は3と1である。したがって，2つの円がただ1つの共有点をもつ条件は，外接または内接すること，すなわち $L = 4 または L = 2$ である。

(1) より， $L^{2} = c$ とおくと， $t$ は $2 t^{2} - 2 a t + a^{2} - c = 0$ を満たす。ただし $c = 16$ または $c = 4$ である。また $t = 1$ は $θ = 0$ の1個に対応し， $t > 1$ は $θ$ と $- θ$ の2個に対応する。

共有点をただ1つもつ $θ$ がちょうど5個存在するには，対応個数が奇数になる必要がある。したがって，どちらかの接触条件で $t = 1$ が解にならなければならない。

まず $L = 4$ の条件で $t = 1$ が解になるとすると $a^{2} - 2 a + 2 = 16$ であるから $a = 1 + 15$ である。このとき $L = 4$ の方程式は $t = 1$ と $t = 15$ を解にもつ。一方， $L = 2$ の方程式は $t ≧ 1$ の解をもたない。よって対応する $θ$ は $1 + 2 = 3$ 個であり，条件を満たさない。

次に $L = 2$ の条件で $t = 1$ が解になるとすると $a^{2} - 2 a + 2 = 4$ であるから $a = 1 + 3$ である。このとき $L = 2$ の方程式は $t = 1, t = 3$ を解にもつ。また $L = 4$ の方程式は， $t ≧ 1$ の解を1つだけもつ。したがって対応する $θ$ の個数は $1 + 2 + 2 = 5$ である。

以上より $a = 1 + 3$ である。

東北大学 2021年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2021年度
後期・理系数学後期第3問