問題
0でない実数に対して曲線をとおく。以下の問いに答えよ。
(1) 直線は，0でないすべての実数に対して曲線と接するとする。このような直線の方程式を求めよ。
(2) をの範囲で動かしたときに曲線が通過する領域を図示せよ。
出典：東北大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第3問
方針
(1) は直線を とおき， との共有方程式がすべての で重解をもつ条件を判別式で表す。 に関する恒等式になるため， が必要になる。(2) は固定した に対して が で動く範囲を調べる。 では最小値を が許されるかどうかで分け， は別に扱う。
解答
(1)
直線を とおく。この直線が に接するためには，方程式 すなわち が重解をもてばよい。判別式を とすると であり，整理して である。
これが0でないすべての実数 について成り立つには， の係数と定数項がともに でなければならない。したがって である。よって求める直線は である。
(2)
固定した に対し， が でとる値を調べる。
まず とする。 に対して であり，等号は のときに成り立つ。 なら なので， の範囲で最小値は である。したがって では の点を通過する。
一方， なら であり，許される範囲 では最小は端点 で起こる。したがって である。
最後に のときは であり， だから である。
以上より，通過する領域は， では ， では ，さらに では となる点全体である。