問題
以下の問いに答えよ。
(1) 3次関数のグラフと2次関数のグラフの共通接線（どちらのグラフにも接する直線）は2本ある。それらの方程式を求めよ。
(2) (1)で求めた2本の共通接線と2次関数のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ。
出典：東北大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
共通接線を，3次関数側の接点 ，2次関数側の接点 で表す。傾きと切片が等しいことから連立方程式を作り， を消去して を決める。面積は，放物線と2本の接線で囲まれる領域であり，2本の接線の交点 を境に上側は放物線，下側はそれぞれの接線になる。接線との差が平方になることを使って積分を短くする。
解答
(1)
3次関数 の における接線を考える。導関数は なので，接線の傾きは である。この接線の切片は である。
一方，2次関数 の における接線の傾きは であり，切片は である。共通接線であるためには，傾きと切片がともに一致すればよいので である。第1式より である。これを第2式に代入して整理すると となる。ここで の判別式は なので実数解をもたない。したがって である。 のとき，傾きは ，切片は である。 のとき，傾きは ，切片は である。よって共通接線は である。
(2)
放物線 に対して，直線 は で接し，直線 は で接する。また2直線の交点は より である。
したがって求める面積 は
ここで であり， である。よって
である。