東北大学 2021年度
文系数学 前期 第3問

解答

(1)

$C_1$ の半径を $\rho$ とする。点 $P$ は2つの円の交点だから $OP=\rho ,AP=r,OA=1$ である。また $\angle OPA=\frac{\pi }{3}$ である。三角形 $OPA$ に余弦定理を用いると $1^2={\rho }^2+r^2-2\rho r\cos \frac{\pi }{3}$ すなわち $1={\rho }^2+r^2-hor$ である。これを $\rho$ について解くと $\rho =\frac{r\pm \sqrt{4-3r^2}}{2}$ となる。$0<r<1$ より $\sqrt{4-3r^2}>r$ であるから，負号の解は負になる。半径は正なので $\rho =\frac{r+\sqrt{4-3r^2}}{2}$ である。

(2)

$r=\frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき，(1) より $OP=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{4-1}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ である。三角形 $OPA$ で，角 $\angle PAO$ に対して余弦定理を用いると

である。したがって $\angle PAO=\frac{\pi }{2}$ である。

(3)

(2) のとき，三角形 $OPA$ では $\angle OPA=\frac{\pi }{3},\angle PAO=\frac{\pi }{2}$ であるから $\angle POA=\frac{\pi }{6}$ である。交点 $P,Q$ は直線 $OA$ に関して対称なので，中心 $O$ で見た扇形の中心角は $2\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$，中心 $A$ で見た扇形の中心角は $2\cdot \frac{\pi }{2}=\pi$ である。

共通部分は，中心 $O$，半径 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$，中心角 $\frac{\pi }{3}$ の扇形と，中心 $A$，半径 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，中心角 $\pi$ の扇形を合わせ，その中で重複して数えた四角形 $OPAQ$ を引けばよい。

まず2つの扇形の面積の和は

である。また三角形 $OPA$ は $A$ で直角なので $[△OPA]=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot AP=\frac{\sqrt{3}}{6}$ であり，四角形 $OPAQ$ の面積はその2倍で $\frac{\sqrt{3}}{3}$ である。したがって共通部分の面積は $\frac{7\pi }{18}-\frac{\sqrt{3}}{3}$ である。