問題
を2以上の整数とする。金貨と銀貨を含む枚の硬貨を同時に投げ，裏が出た金貨は取り去り，取り去った金貨と同じ枚数の銀貨を加えるという試行の繰り返しを考える。初めは枚すべてが金貨であり，枚すべてが銀貨になった後も試行を繰り返す。回目の試行の直後に，枚の硬貨のなかに金貨が枚だけ残る確率を で表す。
(1) を求めよ。
(2) を求めよ。
(3) とする。2回目の試行の直後では金貨が少なくとも1枚残るが，3回目の試行の直後には3枚すべてが銀貨になる確率を求めよ。
方針
各初期金貨を個別に追う。ある金貨が 回目の直後にも金貨として残っているためには、その金貨が 回すべてで表を出す必要があり、その確率は である。各金貨の表裏は独立なので、残る金貨数は二項分布になる。(3)は「3回目で全て銀貨」から「2回目までに既に全て銀貨」を除くことで、2回目直後には少なくとも1枚残る条件を入れる。
解答
(1)
初めは 枚すべてが金貨である。1回目の試行の直後に金貨が 枚残るのは、 枚のうちちょうど 枚が表を出す場合である。各硬貨の表裏は独立で、表の確率は だから である。
(2)
初めにある1枚の金貨に注目する。この金貨が 回目の試行の直後にも金貨として残っているためには、1回目から 回目まで、毎回表を出さなければならない。その確率は である。
初めの 枚の金貨について、この条件は互いに独立に判定できる。したがって、 回目の直後に金貨が 枚残る確率は である。
(3)
とする。3回目の直後に3枚すべてが銀貨である確率は、(2)より である。この中には、2回目の直後にすでに3枚すべてが銀貨であった場合も含まれる。その確率は である。
求める事象は、3回目の直後には全て銀貨であり、かつ2回目の直後にはまだ少なくとも1枚の金貨が残っている場合である。よって
である。