問題
，をを満たす整数とする。赤玉が個，青球が個入った袋から3個の玉を無作為に取り出したとき，取り出した玉のうち2個が赤玉，1個が青玉となる確率をとする。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) が3の倍数で6以上とする。を固定してをの範囲で動かすとき，の最大値とそのときのを求めよ。
出典：東北大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第3問
方針
(1)は全体通りのうち，赤を2個，青を1個選ぶ場合を組合せで数える。(2)はを固定すると分母が一定なので，，すなわちを最大化すればよい。連続変数の微分ではなく，の符号で整数の増減を調べ，のとき最大がであることを示す。最後の最大値は組合せ式へ代入して整理する。
解答
(1)
全体から3個を取り出す方法は 通りである。赤玉2個，青玉1個となる取り出し方は，赤玉個から2個，青玉個から1個を選ぶので 通りである。したがって である。
(2)
を固定すると，分母は一定である。よって を最大にすればよい。
差を計算すると である。ここでとおくと である。したがってでは増加し，では減少する。条件の範囲で最大となるのは のときである。
このとき最大値は である。これを整理すると
である。