問題
を実数とする。 (，は実数)を複素数とし，とするとき，等式
を考える。ここでは虚数単位を表す。
(1) のとき，(＊)を満たすをすべて求めよ。
(2) (＊)を満たすがちょうど5個存在するようなの値の範囲を求めよ。
出典：東北大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第2問
方針
として実部と虚部を比較する。虚部からとに分かれ，は3次方程式の実数解の個数に帰着する。ではを実部へ代入し，任意のに対して非実数解が常に2個あることを単調性で示す。全体で5個になる条件は，実数解が相異なる3個ある条件で決まる。
解答
とおく。すると である。実部と虚部を比較して を得る。虚部の式は である。
(1)
とする。まずの場合，実部の式は であるから である。よって を得る。
次にの場合， である。これを実部の式に代入し，を用いると すなわち である。よってであり，からである。したがって を得る。
以上より，求める解は である。
(2)
の場合を一般ので調べる。を実部の式に代入すると より である。右辺をの関数と見ると導関数は であるから，任意の実数に対してはただ1つ定まる。そのとき であり，非実数解は常に2個ある。
したがって，全体の解がちょうど5個になるためには，の場合の実数解が相異なる3個あればよい。の場合は である。とおくと であり，で極大，で極小をとる。値は
である。
よって方程式が相異なる3個の実数解をもつ条件は である。このとき非実数解2個と合わせて解はちょうど5個になる。