東北大学 2017年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

$a$ を3で割り切れない正の整数とする。 $a$ を3で割ったときの商を $b$ ，余りを $c$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $c = 2$ のとき， $2 a + 1 = a s + 3 t$ を満たす負でない整数 $s$ ， $t$ を $b$ を用いて表せ。

(2) $n$ を $n ≧ 2 a - 2$ を満たす整数とする。このとき $n = a s + 3 t$ を満たす負でない整数 $s$ ， $t$ が存在することを示せ。

出典：東北大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

(1)は $c = 2$ から $a = 3 b + 2$ と書き， $2 a + 1$ を $a$ の1個分と3の倍数に分ける。(2)は $a$ が3と互いに素であることを使い， $n, n - a, n - 2 a$ のうちちょうど1つが3の倍数になることを見る。その候補が負にならないことを下限 $n ≧ 2 a - 2$ で確認する。別解として， $2 a - 2, 2 a - 1, 2 a$ の3連続整数を先に構成し，そこから3ずつ足す帰納的な構成も使える。

解答

(1)

$c = 2$ であるから $a = 3 b + 2$ と書ける。したがって $2 a + 1 = 2 (3 b + 2) + 1 = 6 b + 5$ である。一方 $a + 3 (b + 1) = (3 b + 2) + 3 b + 3 = 6 b + 5$ であるから $2 a + 1 = a \cdot 1 + 3 (b + 1)$ と表せる。よって $s = 1, t = b + 1$ である。

(2)

まず $a = 1$ のときは，任意の $n ≧ 0$ について $n = 1 \cdot n + 3 \cdot 0$ と表せるので成り立つ。

以下， $a ≧ 2$ とする。 $a$ は3で割り切れないので， $a$ は3を法として逆元をもち， $s = 0, 1, 2$ の中から $n - a s \equiv 0 (mod 3)$ を満たすものを選べる。この $s$ について $t = \frac{n - a s}{3}$ とおけば， $t$ は整数である。残る確認は $t ≧ 0$ ，すなわち $n - a s ≧ 0$ である。 $s = 0$ のときは明らかに $n - a s = n ≧ 0$ である。 $s = 1$ のときも $n - a ≧ (2 a - 2) - a = a - 2 ≧ 0$ である。 $s = 2$ のときは， $n ≧ 2 a$ なら $n - 2 a ≧ 0$ でよい。残る可能性は $n = 2 a - 2, 2 a - 1$ だけであるが，この2つについては $2 a - 2 \neq \equiv 2 a (mod 3), 2 a - 1 \neq \equiv 2 a (mod 3)$ なので， $s = 2$ が選ばれることはない。したがって常に $t ≧ 0$ となり，求める表示 $n = a s + 3 t$ が存在する。

別解。 $a = 3 b + 1$ のとき， $2 a - 2 = 3 (2 b), 2 a - 1 = a + 3 b, 2 a = 2 a$ である。 $a = 3 b + 2$ のとき， $2 a - 2 = a + 3 b, 2 a - 1 = 3 (2 b + 1), 2 a = 2 a$ である。つまり $2 a - 2, 2 a - 1, 2 a$ の3連続整数はいずれも $a s + 3 t$ の形で表せる。 $n ≧ 2 a - 2$ なら， $n$ はこの3つのいずれかに3の倍数を足したものだから， $t$ をその分だけ増やせばよい。

東北大学 2017年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2017年度
文系数学前期第3問