東北大学 2015年度
後期・文系数学 後期 第4問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 図形と方程式、積分
- 解法
- 場合分け、面積計算、グラフの概形
- 難易度
- 6 / 10 計算量 7 / 10 目安 24分
問題
xy平面において、次の連立不等式が表す領域をDとする。
y≧∣x2−1∣,x≧∣y−6∣−5
(1) 領域Dを図示せよ。
(2) 領域Dの面積を求めよ。
出典：東北大学 2015年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第4問
方針
第2不等式は ∣y−6∣≦x+5 と見て、1−x≦y≦x+11 に直す。下側境界は y=∣x2−1∣ と y=1−x の大きい方であり、交点 x=−3,−2,0,1,4 を境に式が変わる。図示では上側が直線 y=x+11、下側が区間ごとの放物線または直線になることを明記し、面積は上下差を積分する。
解答
(1)
第2不等式 x≧∣y−6∣−5 は ∣y−6∣≦x+5 と同値であり、領域内では 1−x≦y≦x+11 である。したがって D は y≧∣x2−1∣,y≧1−x,y≦x+11 を同時に満たす領域である。
下側境界は ∣x2−1∣ と 1−x の大きい方で決まる。比較すると、
{∣x2−1∣=x2−1∣x2−1∣=1−x2(x≦−1, 1≦x),(−1≦x≦1)
であり、下側境界は
⎩⎨⎧x2−11−x1−x2x2−1(−3≦x≦−2),(−2≦x≦0),(0≦x≦1),(1≦x≦4)
となる。上側境界は全体で y=x+11 である。したがって、端点を含めて x の範囲は −3≦x≦4 であり、この上下の曲線・直線で囲まれる領域を図示すればよい。
(2)
面積は上下差の積分で
S=∫−3−2{(x+11)−(x2−1)}dx+∫−20{(x+11)−(1−x)}dx+∫01{(x+11)−(1−x2)}dx+∫14{(x+11)−(x2−1)}dx
である。すなわち S=∫−3−2(−x2+x+12)dx+∫−20(2x+10)dx +∫01(x2+x+10)dx+∫14(−x2+x+12)dx である。各積分は次の通りである ∫−3−2(−x2+x+12)dx=623, ∫−20(2x+10)dx=16, ∫01(x2+x+10)dx=665, ∫14(−x2+x+12)dx=22 である。したがって S=623+16+665+22=2105 である。
