問題
を実数とし、座標空間内の点を
と定める。空間内の点で
を満たすもの全体がを中心とする球面をなすとき、この球面の半径との値を求めよ。
出典：東北大学 2015年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第1問
方針
平方和の係数つき和は、重みつき平均を中心として平方完成できる。重みの和は であり、球の中心は になる。これが指定された に等しいことから を決め、残った定数項を計算して半径を求める。
解答
点 の位置ベクトルを とする。重みの和は である。係数つき平方和
を平方完成すると、その中心は重みつき平均 である。
これが に等しいので である。各点の座標を代入すると である。すなわち だから である。よって である。
このとき である。平方完成の定数項を求める。一般に である。ここで なので であり、 である。したがって条件式は となる。よって である。球面の半径は である。