問題
を実数とする。平面において、関数とのグラフをそれぞれとする。
(1) とが共有点をもたないようなの範囲を求めよ。
(2) が(1)で求めた範囲にあるとき、との両方に接する直線が2本存在することを示せ。
(3) が(1)で求めた範囲を動くとき、との両方に接する2本の直線の交点が描く図形を図示せよ。
出典：東北大学 2015年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文理共通 後期 文系第2問・理系第1問
方針
(1)は2つの放物線の共有点を求める2次方程式の判別式を見る。(2)は傾き の の接線を作り、それが にも接する条件を の2次方程式にする。(3)は2本の共通接線の傾きを とし、解と係数の関係から交点の座標を で表して軌跡に直す。
解答
(1)
共有点の 座標は を満たす。整理すると すなわち である。共有点をもたない条件は、この2次方程式の判別式が負であることだから である。したがって である。
(2)
の傾き の接線は、接点の 座標が なので である。この直線が にも接する条件を求める。代入して すなわち が重解をもてばよい。判別式を0にすると であり、整理して を得る。
この の2次方程式の判別式は である。(1)の範囲 ではこれは正なので、異なる2つの実数解 が存在する。したがって共通接線は2本存在する。
(3)
2本の共通接線の傾きを とする。上の2次方程式より である。2本の直線は であるから、その交点の 座標は より である。 座標は
である。
したがって とおけば、 より であり、 である。よって交点の描く図形は で表される放物線の一部である。端点 ， は含まない。