東北大学 2007年度
文系数学 前期 第4問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 積分、関数
- 解法
- 文字消去、絶対値の処理、場合分け
- 難易度
- 6 / 10 計算量 6 / 10 目安 —
問題
関数f(x)が，f(x)=x2−x∫02∣f(t)∣dtを満たしているとする．このとき，f(x)を求めよ．
出典：東北大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
未知の定数 C=∫02∣f(t)∣dt を置くと，関数は f(x)=x2−Cx に限られる。あとは C が自己一致条件 C=∫02∣t2−Ct∣dt を満たすように決める。C は絶対値積分なので C≧0 であり，符号が変わる点 t=C が区間内にある場合 0≦C≦2 と，区間外にある場合 C≧2 に分ける。得られた C を必ず元の範囲に照合して f(x) に戻す。
解答
C=∫02∣f(t)∣dt とおく。すると C≧0 であり，条件式から f(x)=x2−Cx である。したがって C は C=∫02∣t2−Ct∣dt を満たす必要がある。
まず 0≦C≦2 の場合を考える。このとき t2−Ct=t(t−C) は 0≦t≦C で 0 以下，C≦t≦2 で 0 以上である。よって
C=∫0C(Ct−t2)dt+∫C2(t2−Ct)dt=6C3+(38−2C+6C3)=3C3−2C+38
である。したがって C3−9C+8=0 すなわち (C−1)(C2+C−8)=0 である。このうち 0≦C≦2 を満たすのは C=1 だけである。
次に C≧2 の場合を考える。このとき 0≦t≦2 で t2−Ct≦0 だから C=∫02(Ct−t2)dt=2C−38 である。よって C=38 となり，これは C≧2 を満たす。 C<0 は，C=∫02∣f(t)∣dt≧0 に反するので起こらない。以上より f(x)=x2−x,f(x)=x2−38x である。どちらも対応する C について上の自己一致条件を満たすので，これらが求める関数である。
