問題
平面の3点，，を頂点とするに対して以下の問いに答えよ．
(1) を満たす定数に対して，点がに含まれるためのの範囲を求めよ．
(2) (1)の定数に対して，(1)で求められた範囲をが動くとき，の最小値と，そのときのの値を求めよ．
(3) 点がに含まれるとき，の最小値と，そのときの点の座標を求めよ．
出典：東北大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
水平線 で正三角形を切り，左右の辺との交点から の取り得る x の範囲を出す。距離の平方和は x について を含む形に平方完成でき，(1)の範囲が常に を含むことを確認して最小を決める。最後は，固定した a に対する最小値 を でさらに最小化する。図形的には，3頂点からの距離の平方和は重心で最小になることも検算に使える。
解答
(1)
辺 AC は A(0,0)， を通るので である。したがって水平線 との交点の x 座標は である。
また，辺 BC は B(2,0)， を通るので である。よって との交点の x 座標は である。したがって P(x,a) が三角形 ABC に含まれるための範囲は である。
(2)
とする。各距離の平方は である。したがって
である。
(1)の範囲について， だから であり， は常に許される。よって最小値は であり，そのとき である。
(3)
(2)より，P が三角形内を動くときの最小値は を で最小にする問題になる。平方完成すると である。 は指定範囲に含まれるので，最小値は であり，そのとき である。
別解。3点 A,B,C から点 P までの距離の平方和は，3点の重心 G において最小になる。実際， であり，これは三角形 ABC の内部にある。この点を代入すると となり，(3)の答えを直接確認できる。