東北大学 2006年度
後期・文系数学 後期 第3問

解答

曲線 $y=x^3-x$ の $x=t$ における傾きは $3t^2-1$ である。接点は $(t,t^3-t)$ なので，接線の方程式は $y-(t^3-t)=(3t^2-1)(x-t)$ である。整理すると $y=(3t^2-1)x-2t^3$ となる。

この接線が点 $(a,b)$ を通る条件は $b=(3t^2-1)a-2t^3$ であり，移項して $2t^3-3a{t}^2+a+b=0$ を得る。したがって，点 $(a,b)$ から引ける接線の本数は，この $t$ の3次方程式の相異なる実数解の個数で決まる。

接線がちょうど2本だけ引けるためには，この3次方程式が重解 $r$ と，それとは異なる単解 $s$ をもつ必要がある。そこで $2t^3-3a{t}^2+a+b=2(t-r{)}^2(t-s)$ とおく。右辺を展開すると $2(t-r{)}^2(t-s)=2t^3-2(s+2r)t^2+2r(2s+r)t-2r^{2}s$ である。係数を比較して，$t$ の係数から $2r(2s+r)=0$ すなわち $r=0\text{または}2s+r=0$ である。

まず $r=0$ の場合を考える。係数比較より $3a=2s,a+b=0$ であるから $a=\frac{2s}{3},b=-a$ である。2本の接線の接点は $t=0$ と $t=s$ であり，傾きはそれぞれ $-1,3s^2-1$ である。これらが直交する条件は，傾きの積が $-1$ であることなので $(-1)(3s^2-1)=-1$ である。よって $3s^2-1=1,s^2=\frac{2}{3}$ となる。したがって $s=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ であり，$a=\frac{2s}{3}=\pm \frac{2\sqrt{6}}{9},b=-a$ である。

次に $2s+r=0$ の場合を考える。このとき $s=-r/2$ であり，係数比較から $a=r,b=r^3-r$ となる。2本の接線の傾きは $3r^2-1,3{\left(-\frac{r}{2}\right)}^2-1=\frac{3r^2}{4}-1$ である。直交条件は $(3r^2-1)\left(\frac{3r^2}{4}-1\right)=-1$ である。$u=r^2$ とおくと $(3u-1)\left(\frac{3u}{4}-1\right)=-1$ であり，整理して $9u^2-15u+8=0$ となる。この判別式は $(-15{)}^2-4\cdot 9\cdot 8=225-288=-63<0$ なので，実数 $u$ は存在しない。したがってこの場合は不適である。

以上より求める点は

である。