東北大学 2006年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

$6^{n}$ が39桁(けた)の自然数になるときの自然数 $n$ を求めよ．その場合の $n$ に対する $6^{n}$ の最高位の数字を求めよ．ただし

lo g_{10} 2 = 0.3010, lo g_{10} 3 = 0.4771

とする．

出典：東北大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方針

桁数は常用対数で判定する。 $6^{n}$ が39桁である条件は $38 ≦ n lo g_{10} 6 < 39$ であり， $lo g_{10} 6 = 0.7781$ を使って自然数 $n$ を絞る。最高位の数字は， $n lo g_{10} 6$ の小数部分 $r$ について $1 0^{r}$ がどの整数区間 $[d, d + 1)$ に入るかで決まる。

解答

与えられた値から $lo g_{10} 6 = lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$ である。

自然数 $N$ が39桁であることは $1 0^{38} ≦ N < 1 0^{39}$ と同値である。したがって $6^{n}$ が39桁である条件は $1 0^{38} ≦ 6^{n} < 1 0^{39}$ であり，常用対数をとると $38 ≦ n lo g_{10} 6 < 39$ となる。よって $38 ≦ 0.7781 n < 39$ である。

これを計算すると $\frac{38}{0.7781} ≦ n < \frac{39}{0.7781}$ であり，実際に $0.7781 \cdot 48 = 37.3488 < 38,$ $0.7781 \cdot 49 = 38.1269, 0.7781 \cdot 50 = 38.9050,$ $0.7781 \cdot 51 = 39.6831 > 39$ である。したがって $n = 49, 50$ である。

次に最高位の数字を求める。 $n = 49$ のとき $lo g_{10} 6^{49} = 38.1269$ であるから $6^{49} = 1 0^{38} \cdot 1 0^{0.1269}$ である。ここで $0 < 0.1269 < lo g_{10} 2 = 0.3010$ なので $1 < 1 0^{0.1269} < 2$ である。したがって最高位の数字は $1$ である。 $n = 50$ のとき $lo g_{10} 6^{50} = 38.9050$ である。ここで $lo g_{10} 8 = 3 lo g_{10} 2 = 0.9030$ であり， $lo g_{10} 9 = 2 lo g_{10} 3 = 0.9542$ である。したがって $lo g_{10} 8 < 0.9050 < lo g_{10} 9$ だから $8 < 1 0^{0.9050} < 9$ である。よって最高位の数字は $8$ である。

以上より $n = 49 のとき最高位は 1, n = 50 のとき最高位は 8$ である。

東北大学 2006年度後期・文系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

東北大学 2006年度
後期・文系数学後期第2問