問題
1個のサイコロを振り，出た目が1から5ならば出た目の数を総得点に加算し，出た目が6ならば総得点を0にするというゲームを考える．ゲーム開始時の総得点は0とする．たとえば，3回サイコロを振ったときに出た目が順に1，2，3ならば総得点は6，出た目が順に4，6，5ならば総得点は5である．以下の問に答えよ．
(1) ゲーム開始時サイコロを2回振った後の総得点の期待値を求めよ．
(2) ゲームを開始してサイコロを3回振った後の総得点が7以上となる確率を求めよ．
(3) 現在の総得点がのとき，次に1回サイコロを振った後の総得点の期待値が以下となるためのについての条件を求めよ．
方針
現在の総得点が のとき，次の1回後の得点の期待値をまず式にする。(1)はこの期待値の更新を2回使えばよい。(2)は3回の出目を数え上げるが，最後に出た6がそれ以前を消すので，「6が出ない場合」と「1回目だけが6の場合」に分けると漏れにくい。(3)は(1)で作った1回後の期待値を 以下にする不等式で決まる。
解答
(1)
現在の総得点が であるとする。次に1回サイコロを振った後の総得点は，出目が1から5ならそれぞれ であり，出目が6なら0である。したがって次の1回後の期待値は である。
開始時は なので，1回後の期待値は である。さらに2回後の期待値は，上の式の に1回後の期待値を入れて である。よって である。
(2)
3回の出目は全部で 通りである。
まず，3回とも6が出ない場合を数える。このとき出目はすべて であり，最終得点は3つの出目の和である。全体は 通りである。和が6以下になる通り数は，和が3,4,5,6の場合を数えて 通りである。したがって和が7以上になるものは 通りである。
次に，6が出る場合を考える。2回目または3回目に6が出ると，その時点で総得点が0になり，その後残る加算は高々5なので，3回後の総得点は7以上にならない。したがって可能性があるのは1回目だけが6の場合である。このとき2回目と3回目の出目の和が7以上であればよい。 から までの2数の並びは25通りで，和が6以下のものは 通りである。よって和が7以上のものは 通りである。
したがって有利な出目の並びは 通りであり，求める確率は である。
(3)
(1)で求めたように，現在の総得点が のとき，次に1回振った後の総得点の期待値は である。これが 以下となる条件は である。整理すると なので である。