問題
定数，，，，を整数とし，次のとの3つの多項式
を考える．以下の問いに答えよ．
(1) 多項式，，を因数分解せよ．
(2) と，と，とは，それぞれ，の1次式を共通因数としてもっているものとする．このときの整数，，，，を求めよ．
出典：東北大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
まず3つの多項式をすべて1次式の積に分解する。共通因数を比較するときは，どの因数も先頭の係数を1にそろえて， の係数と定数項を比較する。 の因数は ， で固定されるので， と の共通因数から を先に決める。次に， の因数の 係数は であることから， と の共通因数を絞り，残った因数を と比較して を決める。
解答
(1)
は平方の差であるから
である。すなわち である。
また， は を用いて と分解できる。
最後に は
であるから である。
(2)
すべての1次因数は の係数を1にして比較してよい。まず と の共通因数を考える。 の因数 は定数項が であり， の2つの因数はいずれも定数項が なので，これは の因数とは一致しない。
したがって共通因数は である。これが または と一致する。 は整数なので だけが可能であり， である。このとき となる。
次に と の共通因数を考える。 の因数の 係数は である。 の 係数は または であり， は整数だから， は不可能である。よって共通因数は であり， から である。いずれの場合も， の2つの因数は である。 と の共通因数が であることから である。また と も共通因数をもつ。 の因数 は の因数になれないので， が の残りの因数 と一致する。したがって である。
連立して
を解くと である。以上より である。