問題
連立不等式，が表す平面内の領域をとする．また，を定数とし，不等式が表す平面内の領域をとする．以下の問に答えよ．
(1) ととが共通点をもつような実数の範囲を求めよ．
(2) (1)の範囲のに対して，ととの共通部分の面積を求めよ．
(3) (2)で求めたの最大値を求めよ．
出典：東北大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第4問・理系第6問
方針
共通部分があるには， のどこかで放物線 が 軸以下に来ればよい。したがって根の区間 と の重なりを調べる。面積は，重なった 区間で上端が ，下端が放物線になる部分を積分する。 を境に積分区間が変わるので，最後の最大値も2区間に分けて微分する。
解答
(1)
領域 は であり，領域 は である。したがって共通点をもつためには，ある が を満たし，かつ となることが必要十分である。
左辺は である。これが0以下になる が存在するには，まず であり，区間 が と交わればよい。交わりの条件は であるから である。
(2)
共通部分では である。よって面積は で求められる。 のとき， と の共通部分は である。したがって
である。 のとき， と の共通部分は である。したがって
である。
よって
である。
(3)
まず で を微分すると である。この区間では なので，最大は で である。
次に で を微分すると である。したがって の内部の極値は であり， で増加， で減少する。よってこの区間の最大値は
である。 だから，全体での最大値は である。