東北大学 2006年度文理共通数学文系第3問・理系第2問解答・解説

問題

図－1のような $A B = B C = C D = D A = A C = 1$ である四角形 $A B C D$ を考える．この四角形 $A B C D$ を $A C$ で折り，図－2のように点 $B$ ， $C$ ， $D$ が平面 $P$ にのるように置く．図－2に現れる辺 $C B$ と辺 $C D$ とがなす角を $α$ ， $α = ∠ B C D$ ，とし $0^{\circ} < α < 120^{\circ}$ とする．以下の問に答えよ．

(1) 図－2において， $A$ から平面 $P$ に下ろした垂線が $P$ と交わる点を $H$ とする． $A H$ を $C A$ ， $C B$ ， $C D$ と $α$ で表せ．

(2) $A H$ の長さを $α$ を用いて表せ．

(3) $H$ が図－2における $△ B C D$ の重心となるときの角度 $α$ を求めよ．

出典：東北大学 2006年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第3問・理系第2問

方針

$C$ を基準にして $C B, C D$ が張る平面を平面 $P$ と見る。 $H$ は $A$ の正射影なので， $C H$ を $C B, C D$ の一次結合で置き， $C A - C H$ が平面 $P$ 内の2方向と垂直になる条件を立てる。 $A B = A D = A C = 1$ から内積 $C A \cdot C B = C A \cdot C D = 1/2$ を先に出すのが決め手である。

解答

(1)

記号を簡単にするため

C A = w, C B = u, C D = v

とおく。条件より

∣ u ∣ = ∣ v ∣ = ∣ w ∣ = 1, u \cdot v = cos α

である。また $A B = 1$ だから $∣ w - u ∣^{2} = 1$ であり，展開して $1 + 1 - 2 w \cdot u = 1$ となる。よって $w \cdot u = \frac{1}{2}$ である。同様に $A D = 1$ から $w \cdot v = \frac{1}{2}$ である。 $H$ は平面 $P$ 上の点なので $C H = λ u + μ v$ とおける。また $A H ⊥ P$ だから

(w - C H) \cdot u = 0, (w - C H) \cdot v = 0

である。したがって

⎩ ⎨ ⎧ λ + μ cos α = \frac{1}{2}, λ cos α + μ = \frac{1}{2}

を得る。2式を引くと $(1 - cos α) (λ - μ) = 0$ である。 $0^{\circ} < α < 12 0^{\circ}$ より $cos α \neq = 1$ なので $λ = μ$ である。これを代入して $λ (1 + cos α) = \frac{1}{2}$ となるから $λ = μ = \frac{1}{2 ( 1 + c o s α )}$ である。よって

C H = \frac{C B + C D}{2 ( 1 + cos α )}

であり，

A H = - C A + \frac{C B + C D}{2 ( 1 + cos α )}

である。

(2)

$A H ⊥ P$ で， $C, H$ は平面 $P$ 上にあるから，三角形 $A C H$ は $H$ で直角である。したがって $A H^{2} = A C^{2} - C H^{2} = 1 - C H^{2}$ である。

(1)の結果から

C H^{2} = \frac{u + v}{2 ( 1 + cos α )}^{2} = \frac{∣ u ∣ ^{2} + 2 u \cdot v + ∣ v ∣ ^{2}}{4 ( 1 + cos α ) ^{2}} = \frac{2 + 2 cos α}{4 ( 1 + cos α ) ^{2}} = \frac{1}{2 ( 1 + cos α )}

である。よって $A H^{2} = 1 - \frac{1}{2 ( 1 + c o s α )} = \frac{1 + 2 c o s α}{2 ( 1 + c o s α )}$ である。 $0^{\circ} < α < 12 0^{\circ}$ なので $1 + 2 cos α > 0$ であり， $A H = \frac{1 + 2 cos α}{2 ( 1 + cos α )}$ となる。

(3)

$H$ が $△ B C D$ の重心であるとき， $C$ を基準にすれば $C H = \frac{C B + C D}{3}$ である。一方，(1)より

C H = \frac{C B + C D}{2 ( 1 + cos α )}

である。 $C B + C D \neq = 0$ だから係数を比較して $\frac{1}{2 ( 1 + c o s α )} = \frac{1}{3}$ を得る。これより $2 (1 + cos α) = 3, cos α = \frac{1}{2}$ である。範囲 $0^{\circ} < α < 12 0^{\circ}$ において $α = 6 0^{\circ}$ である。

東北大学 2006年度文理共通数学 文系第3問・理系第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

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