東北大学 2005年度
文系数学 前期 第4問

解答

曲線 $C:y=-x^2$ と曲線 $D:y=(x-a{)}^2+b$ の接点の $x$ 座標を $t$ とする。接しているので、接点での傾きが等しい。$C$ の傾きは $-2t$、$D$ の傾きは $2(t-a)$ だから $2(t-a)=-2t$ である。よって $t=\frac{a}{2}$ である。

また接点での $y$ 座標も等しいので ${\left(\frac{a}{2}-a\right)}^2+b=-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$ である。したがって $\frac{a^2}{4}+b=-\frac{a^2}{4}$ より $b=-\frac{a^2}{2}$ である。よって $D:y=(x-a{)}^2-\frac{a^2}{2}=x^2-2ax+\frac{a^2}{2}$ となる。

次に $E:y=\frac{1}{2}(x-1{)}^2+1=\frac{1}{2}{x}^2-x+\frac{3}{2}$ であるから、

である。

2つの曲線が囲む部分は、$E-D\geqq 0$ となる2つの交点の間にある。2次方程式 $x^2-(4a-2)x+a^2-3=0$ の判別式を $\Delta$ とすると $\Delta =(4a-2{)}^2-4(a^2-3)=4(3a^2-4a+4)$ である。2つの根の差は $\sqrt{\Delta }=2\sqrt{3a^2-4a+4}$ である。

一般に、根を $\alpha <\beta$ とすると $E-D=\frac{1}{2}(x-\alpha )(\beta -x)$ であるから、面積 $S$ は

である。したがって $S=\frac{\{2\sqrt{3a^2-4a+4}{\}}^3}{12}=\frac{2}{3}(3a^2-4a+4{)}^{3/2}$ である。

よって $S$ を最小にするには $3a^2-4a+4$ を最小にすればよい。平方完成すると $3a^2-4a+4=3{\left(a-\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{8}{3}$ であるから、最小となるのは $a=\frac{2}{3}$ のときである。このとき $b=-\frac{1}{2}{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=-\frac{2}{9}$ であり、面積は $S=\frac{2}{3}{\left(\frac{8}{3}\right)}^{3/2}=\frac{32\sqrt{6}}{27}$ である。したがって $\boxed{a=\frac{2}{3},b=-\frac{2}{9},S=\frac{32\sqrt{6}}{27}}$ である。