問題
1から6の番号のつけられた6個の箱に，それぞれ3枚ずつの皿が重ねて置かれている．白いサイコロと黒いサイコロそれぞれ1個を同時に振って，出た目に応じて次の規則で皿を移動させるものとする．2つのサイコロに同じ目がでたときは皿は移動させない．2つのサイコロに異なる目が出たときは，黒いサイコロの目の数と同じ番号の箱から皿1枚を白いサイコロの目の数と同じ番号の箱に移す．
(1) サイコロを3回振るとき，皿が4枚の箱と2枚の箱がそれぞれ3個ずつとなる確率を求めよ．
(2) サイコロを3回振るとき，皿が3枚の箱が2個，5枚の箱，4枚の箱，2枚の箱，1枚の箱がそれぞれ1個ずつとなる確率を求めよ．
方針
各試行を、同じ目なら変化なし、異なる目なら「白の目の箱に 、黒の目の箱に 」を加える操作として見る。3回後の皿の枚数は、各箱の増減量の多重集合で決まる。(1)は増減量が になる場合なので、3回とも移動が起こり、増える箱と減る箱が重ならない。(2)は増減量が になる場合で、最終的な役割をもつ箱を先に選び、固定した役割配置に対して可能な3回の移動列を数える。
解答
(1)
1回の試行では、白いサイコロの目と黒いサイコロの目の組が 通りある。3回振るので、全事象は 通りである。
皿が4枚の箱と2枚の箱がそれぞれ3個ずつになるには、3個の箱で皿が1枚ずつ増え、残り3個の箱で皿が1枚ずつ減る必要がある。したがって3回とも異なる目が出て移動が起こり、さらに移動先の箱3個と移動元の箱3個は重ならない。
まず皿が増える3個の箱を選ぶ方法は 通りである。残りの3個の箱が皿の減る箱になる。3回の試行に対して、増える箱をどの順に移動先にするかは 通り、減る箱をどの順に移動元にするかも 通りである。よって有利な場合の数は である。したがって求める確率は である。
(2)
最終的に皿の枚数が になるということは、初めの3枚からの増減量が になるということである。増減量の合計が正の側で3、負の側で なので、やはり3回とも移動が起こる。
まず、増減量が になる箱、 になる箱、 になる箱、 になる箱を順に選ぶ。選び方は 通りである。残った2個の箱は増減量0の箱である。
ここで、役割が固定された場合を数える。 の箱を 、 の箱を 、 の箱を 、 の箱を とする。このとき可能な移動の型は次の2種類である。
1つ目は、 が と から1枚ずつ受け取り、 が から1枚受け取る場合である。つまり移動は の3つであり、順序は 通りである。
2つ目は、 が から2回受け取り、 が から1枚受け取る場合である。つまり移動は であり、同じ移動 が2回あるので順序は 通りである。
したがって、役割が固定されたときの移動列は 通りである。有利な場合の数は 通りなので、求める確率は である。