問題
すべての内角がより小さい四角形がある．辺の長さが，とする．さらに，辺上に点があり，3つの三角形，，の面積はすべて等しいとする．，とおく．
% 図は省略
(1) を示せ．
(2) であるとするとき，の値を求めよ．
出典：東北大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第2問・理系第2問
方針
面積が等しい条件を、まず辺 上の点 の位置に翻訳する。 と は底辺を と見れば高さが共通なので、 が分かる。したがって である。 から を出し、 と を比べて を得る。内角条件から を選ぶ。(2)は とし、 を軸に座標化して中点 の位置から を求める。
解答
(1)
は辺 上にある。 と は、底辺をそれぞれ 、 と見ると、頂点 から直線 への高さが共通である。2つの面積が等しいので である。したがって は の中点であり、 である。さらに3つの三角形の面積はすべて等しいから である。
次に なので、 は二等辺三角形である。 だから、 から への関係、または余弦を用いて である。よって
である。
一方、、 なので
である。これが に等しいから である。四角形の内角はすべて より小さく、 なので である。したがって を得る。
ここで 、 であるから、 より である。もし なら となり、四角形の内角が より小さいことに反する。よって である。
(2)
(1)より である。条件より だから
である。 は鋭角なので である。 を 軸にとり、 を原点とする。すると である。また 、 だから とおける。 は の中点なので である。
したがって である。上で求めた値から なので である。 だから、直角三角形を考えて である。よって である。