東北大学 2005年度
試験区分 前期日程 第2次学力試験
対象 共通
分野 ベクトル
解法 ベクトル成分計算、内積の利用、式変形
難易度 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 —
問題
0 < t < 2 1 a b e
(i) ( 1 − t ) a + t b = e
(ii) ( 1 − t ) ( a + e ) = t ( b + e )
を満たすとする．さらに平面上のベクトルx x − a x − b t : 1 − t x ⋅ e t
出典：東北大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 文系第1問・理系第1問
方針
条件(i)(ii)を加減して、まず a b e x = u e + v v ⊥ e A = t / ( 1 − t ) B = ( 1 − t ) / t a = A e b = B e ∣ x − a ∣ 2 = ( u − A ) ( B − A ) ∣ x − b ∣ 2 = ( B − u ) ( B − A ) u = x ⋅ e
解答
条件(i)は ( 1 − t ) a + t b = e
であるから、整理して ( 1 − t ) a − t b = ( 2 t − 1 ) e
この2式を加えると 2 ( 1 − t ) a = 2 t e a = 1 − t t e 2 t b = 2 ( 1 − t ) e b = t 1 − t e
ここで A = 1 − t t , B = t 1 − t 0 < t < 1/2 A < B
と分解する。このとき
x − a = ( u − A ) e + v , x − b = ( u − B ) e + v である。
垂直条件より
である。∣ e ∣ = 1 v ⊥ e ( u − A ) ( u − B ) + ∣ v ∣ 2 = 0
∣ x − a ∣ 2 = ( u − A ) 2 + ∣ v ∣ 2 = ( u − A ) 2 − ( u − A ) ( u − B ) = ( u − A ) ( B − A ) であり、同様に
∣ x − b ∣ 2 = ( u − B ) 2 + ∣ v ∣ 2 = ( B − u ) ( B − A ) である。
長さの比が
であるから、2乗して ( B − u ) ( B − A ) ( u − A ) ( B − A ) = ( 1 − t ) 2 t 2 B − A > 0 B − u u − A = ( 1 − t ) 2 t 2 ( 1 − t ) 2 ( u − A ) = t 2 ( B − u ) {( 1 − t ) 2 + t 2 } u = ( 1 − t ) 2 A + t 2 B
ここで
( 1 − t ) 2 A + t 2 B = ( 1 − t ) 2 ⋅ 1 − t t + t 2 ⋅ t 1 − t = 2 t ( 1 − t )
である。したがって u = ( 1 − t ) 2 + t 2 2 t ( 1 − t ) = 2 t 2 − 2 t + 1 2 t ( 1 − t )
求める内積は
なので、
である。
