問題
図のような空間内の8点
を頂点とする直方体を考える．この直方体の辺上を6個の動点，，，，，が次の条件(i)，(ii)を満たすように動くものとする．
(i) 時刻において，，はから，，はから，はから，はから，それぞれ出発する．
(ii) はに，，はに，はに，，はに向かってそれぞれ一定の速度で辺上を動き，時刻において，，，に到着する．
(1) は常に，，の定める平面上にあることを示せ．
(2) 各時刻における四角形の面積を求めよ．
(3) ，が共に，，の定める平面上にある時刻 を求めよ．
出典：東北大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第4問
方針
6点を時刻 で座標表示し、平面条件は を始点にしたベクトルの一次関係で見る。(1)は が出るので、行列式計算よりも簡潔に示せる。(2)は四角形を と に分け、外積の大きさから面積を出す。(3)は について同じ平面条件を行列式で判定し、 の解だけを残す。
解答
各点の座標を時刻 で表すと である。
(1)
を始点にした3本のベクトルは である。ここで
が成り立つ。したがって は と の和で表されるので、点 は常に3点 の定める平面上にある。
(2)
四角形 を対角線 で2つの三角形 、 に分ける。
まず
である。また
となり、2つの三角形の外積ベクトルの大きさは等しい。この大きさの2乗は である。
したがって各三角形の面積は であり、四角形 の面積は である。
(3)
点 が平面 上にあることは と同値である。 のとき
であり、 のとき
である。よって がともに平面 上にある条件は である。問題では だから、求める時刻は である。