問題
放物線と放物線とで囲まれる部分の面積をとする．
(1) のとき，をの式で表せ．
(2) ある放物線 は(1)を満たすどのとも1点だけを共有しているという．を求めよ．
出典：東北大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第3問
方針
まず2つの放物線の上下関係を、平方完成した差で把握する。交点間の面積は中心を に移して偶関数の積分にすれば短く求められる。(2)では(1)で得た1変数族の放物線と固定された放物線の交点方程式を作り、すべての で解がただ1つになるように判別式を恒等的に0にする。なお2次方程式でなくなる場合も例外として確認する。
解答
(1)
2つの放物線の差をとると である。囲まれる部分ができるには が必要である。ここで とおくと、差は であり、交点は である。 とおくと、面積 は
である。 より だから である。したがって となり、求める式は である。
(2)
(1)を満たす放物線は である。これと との交点の 座標は を満たす。
もし なら、この式は となる。 とすると の係数が消え、解がないか、またはすべての が解になるため、共有点がちょうど1点とはいえない。よって である。
したがって、すべての について共有点が1点だけであるためには、この2次方程式の判別式が の恒等式として0でなければならない。判別式を とすると である。これがすべての で0になるので、係数比較により である。したがって を得る。
実際、このとき であり、(1)の放物線との差は
となるから、各 について の1点だけを共有する。よって である。