東北大学 2001年度
後期・文系数学 後期 第3問

解答

$s=\sin t,c=\cos t$ とおく。$-90^{\circ }<t<90^{\circ }$ より $c>0$ である。

2点 $P,Q$ の $y$ 座標が等しいことから $\tan t=3\sin t-2\cos t+a+2$ である。すなわち $\frac{s}{c}=3s-2c+a+2$ なので $a=\frac{s}{c}-3s+2c-2$ を得る。

次に $x$ 座標の一致を用いる。条件は $\frac{1}{2}s+\cos 2t=\sin 2t+ac$ である。ここに $\cos 2t=c^2-s^2,\sin 2t=2sc$ および上で求めた $a$ を代入する。右辺の $ac$ は $ac=s-3sc+2c^2-2c$ であるから $\frac{1}{2}s+c^2-s^2=2sc+s-3sc+2c^2-2c$ となる。整理すると $2sc+4c-s-2=0$ すなわち $(2c-1)(s+2)=0$ である。

ここで $-1<s<1$ だから $s+2>0$ である。よって $c=\frac{1}{2}$ である。範囲条件 $c>0$ のもとで $t=60^{\circ },t=-60^{\circ }$ の2つが得られる。

最後に $a$ を求める。$t=60^{\circ }$ では $s=\sqrt{3}/2,c=1/2$ なので $a=\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}+1-2=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。$t=-60^{\circ }$ では $s=-\sqrt{3}/2,c=1/2$ なので $a=-\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2}+1-2=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

したがって

である。