東北大学 2001年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

2つの放物線

C : y = 2 x^{2} + a x, D : y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

がそれぞれ原点 $(0, 0)$ と点 $(2, 2)$ で直線 $y = x$ と接するように $a$ ， $b$ ， $c$ の値を定めよ．また，このとき $C$ の $x ≧ 0$ の部分と $D$ および直線 $y = x$ が囲む部分の面積を求めよ．

出典：東北大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方針

接する条件は、接点で関数値が直線 $y = x$ と一致し、微分係数も1になること。これで $a, b, c$ を決める。面積は、直線 $y = x$ 、放物線 $C$ 、放物線 $D$ の交点を確認し、 $0 ≦ x l e q q 2/3$ では $C$ と直線、 $2/3 ≦ x l e q q 2$ では $D$ と直線の差を積分する。

解答

まず係数を求める。 $C : y = 2 x^{2} + a x$ が原点で直線 $y = x$ と接する。原点を通ることは自動的に成り立つので、接線の傾きが1であればよい。 $C$ の導関数は $y^{'} = 4 x + a$ だから $a = 1$ である。

次に $D : y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ が点 $(2, 2)$ で $y = x$ と接する。導関数は $y^{'} = x + b$ であるから $2 + b = 1$ より $b = - 1$ である。また点 $(2, 2)$ を通るので $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 b + c = 2$ すなわち $2 - 2 + c = 2$ より $c = 2$ である。したがって $a = 1, b = - 1, c = 2$ である。

このとき $C : y = 2 x^{2} + x, D : y = \frac{1}{2} x^{2} - x + 2$ である。直線 $y = x$ との差を見ると $C - x = 2 x^{2}$ であり、 $C$ は $x ≧ 0$ で直線の上にある。また $D - x = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 2 = \frac{1}{2} (x - 2)^{2}$ であり、 $D$ も直線の上にあり、 $x = 2$ で接する。 $C$ と $D$ の交点を求めると $2 x^{2} + x = \frac{1}{2} x^{2} - x + 2$ すなわち $3 x^{2} + 4 x - 4 = 0$ である。よって正の交点は $x = \frac{2}{3}$ である。

したがって囲まれた部分の面積 $S$ は

S = \int_{0}^{2/3} {(2 x^{2} + x) - x} d x + \int_{2/3}^{2} {(\frac{1}{2} x^{2} - x + 2) - x} d x

である。すなわち $S = \int_{0}^{2/3} 2 x^{2} d x + \int_{2/3}^{2} \frac{1}{2} (x - 2)^{2} d x$ である。

計算すると

\int_{0}^{2/3} 2 x^{2} d x = \frac{16}{81}, \int_{2/3}^{2} \frac{1}{2} (x - 2)^{2} d x = \frac{32}{81}

であるから $S = \frac{48}{81} = \frac{16}{27}$ である。よって面積は $\frac{16}{27}$ である。

東北大学 2001年度後期・文系数学 後期 第2問

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解答

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後期・文系数学後期第2問