東北大学 1982年度
文系数学 前期 第3問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 積分、図形と方程式、関数
- 解法
- 場合分け、面積計算、範囲評価
- 難易度
- 5 / 10 計算量 4 / 10 目安 —
問題
a≦1である定数aについて，不等式
y≧aおよび−x2+1≦y≦−x2+2
を同時に満たす平面上の領域の面積を求めよ．
出典：東北大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
二つの放物線の間の帯状領域を、直線 y=a で下から切る問題として見る。上端は常に y=2−x2 で、下端は y=1−x2 と y=a の大きい方である。境目は 1−x2=a、領域の端は 2−x2=a で決まるので、偶関数性を使って x≧0 側だけ積分する。
解答
与えられた条件は y≧a,1−x2≦y≦2−x2 である。したがって、各 x における上端は y=2−x2 であり、下端は y=max(a,1−x2) である。
領域が存在するには、上端が a 以上でなければならない。すなわち 2−x2≧a より ∣x∣≦2−a である。
また 1−x2≧a となるのは ∣x∣≦1−a の範囲である。ここでは下端が 1−x2 なので、縦の長さは (2−x2)−(1−x2)=1 である。
一方、1−a<∣x∣≦2−a では 1−x2<a となるので、下端は a であり、縦の長さは (2−x2)−a=2−a−x2 である。
図形は y 軸について対称であるから、面積 S は S=21−a+2∫1−a2−a(2−a−x2)dx である。
ここで ∫(2−a−x2)dx=(2−a)x−3x3 だから
∫1−a2−a(2−a−x2)dx=32(2−a)3/2−{(2−a)1−a−31(1−a)3/2}.
2−a=(1−a)+1 を用いて中かっこの中を整理すると (2−a)1−a−31(1−a)3/2=1−a+32(1−a)3/2. したがって
S=21−a+2{32(2−a)3/2−1−a−32(1−a)3/2}.
よって S=34{(2−a)3/2−(1−a)3/2}. 別解の視点
横に切って考えることもできる。高さ y を固定すると、条件 y≧a のもとで 1−x2≦y≦2−x2 を満たす x の範囲を求めることになる。ただし y の範囲ごとに不等式の向きと端点が変わるため、今回のように縦に切り、下端を max(a,1−x2) と見る方が計算は短い。
