問題
の展開式について，次の問に答えよ．
(1) ，，，がを満たす負でない整数であるとき，項の係数を求めよ．
(2) 係数の最大値を求めよ．またそのときの，，，を求めよ．
出典：東北大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
(1)は多項定理をそのまま用い、同じ文字を何回選ぶかの並べ方として係数を表す。(2)は係数 を最大にするために、分母 を最小にする問題に直す。二つの指数の差が2以上なら、大きい方を1減らし小さい方を1増やすと分母が小さくなるので、最大時には指数ができるだけ均等になる。
解答
(1)
を展開するとき、7回の選択のうち
選ぶと、項 が得られる。したがって、そのような選び方の数が係数である。
7個の場所のうち、まず を置く場所を 個、次に を置く場所を 個、次に を置く場所を 個選べば、残りが の場所である。よって係数は である。
(2)
(1)より、係数を最大にするには を最小にすればよい。
ここで、二つの指数 が を満たしているとする。このとき、 を1減らし、 を1増やしても和は変わらない。分母の該当部分は から に変わる。その比は である。したがって、二つの指数の差が2以上ある状態では、係数はまだ大きくできる。
よって最大になるとき、 のどの二つの差も1以下である。4個の負でない整数の和が7なので、その形は でなければならない。
したがって は の順列である。このとき係数は よって最大値は であり、そのときの は の順列である。
別解の視点
展開の係数は、7個の位置に4種類の文字を並べる方法の数である。特定の文字に回数が偏るほど同じ文字の入れ替えで区別できない分が増え、係数は小さくなる。したがって回数をできるだけ均等にするという判断は、上の階乗の比較と同じ内容である。