東京工業大学 2011年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

次の式 $x = tan θ$ ， $y = \frac{1}{cos θ}$ $(0 ≦ θ < \frac{π}{2})$ で表される $x y$ 平面上の曲線 $C$ を考える。定数 $t > 0$ に対し点 $P (t, 0)$ を通り $x$ 軸に垂直な直線 $l$ と曲線 $C$ の交点を $Q$ とする。曲線 $C$ ， $x$ 軸， $y$ 軸，および直線 $l$ で囲まれた図形の面積を $S_{1}$ とし， $△ O P Q$ の面積を $S_{2}$ とする。

(1) $S_{1}$ ， $S_{2}$ を $t$ を用いて表せ。

(2) 極限 $t \to \infty lim \frac{S _{1} - S _{2}}{lo g t}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2011年度後期後期・理系後期第2問

方針

媒介変数表示から $y = 1 + x^{2}$ と直し， $S_{1} = \int_{0}^{t} 1 + x^{2} d x$ ， $S_{2} = \frac{1}{2} t 1 + t^{2}$ とする。積分は $x = tan θ$ に戻して $\int \frac{1}{c o s ^{3} θ} d θ$ を部分積分で求める。差は対数項だけになるので，最後は対数の基本的な評価で極限を出す。

解答

(1)

$x = tan θ$ ， $y = \frac{1}{c o s θ}$ であるから， $y^{2} = 1 + x^{2}$ であり， $0 ≦ θ < \frac{π}{2}$ より $x ≧ 0$ ， $y = 1 + x^{2}$ である。したがって

S_{1} = \int_{0}^{t} 1 + x^{2} d x, S_{2} = \frac{1}{2} t 1 + t^{2}

である。

$t = tan α$ $0 < α < \frac{π}{2}$ とおく。 $x = tan θ$ により $1 + x^{2} = \frac{1}{c o s θ}$ ， $d x = \frac{1}{c o s ^{2} θ} d θ$ なので $S_{1} = \int_{0}^{α} \frac{1}{c o s ^{3} θ} d θ$ である。ここで

\int \frac{1}{cos ^{3} θ} d θ = \frac{1}{2} (\frac{sin θ}{cos ^{2} θ} + lo g \frac{1 + sin θ}{cos θ})

であるから， $tan α = t$ ， $\frac{1}{c o s α} = 1 + t^{2}$ を用いて $S_{1} = \frac{1}{2} (t 1 + t^{2} + lo g (t + 1 + t^{2}))$ である。よって $S_{2} = \frac{1}{2} t 1 + t^{2}$ である。

(2)

(1)より $S_{1} - S_{2} = \frac{1}{2} lo g (t + 1 + t^{2})$ である。 $t > 1$ では $2 t < t + 1 + t^{2} < 3 t$ であるから，

\frac{lo g ( 2 t )}{lo g t} < \frac{lo g ( t + 1 + t ^{2} )}{lo g t} < \frac{lo g ( 3 t )}{lo g t}

が成り立つ。両端はいずれも $1$ に収束するので，求める極限は $\frac{1}{2}$ である。

東京工業大学 2011年度後期・理系数学 後期第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2011年度
後期・理系数学後期第2問