問題
正の実数 に対して，座標空間における4点 ，，， を考える。このとき，次の問いに答えよ。
(1) 四面体 のすべての面に内接する球 の半径 を を用いて表せ。
(2) が動くとき，球 の体積を四面体 の体積で割った値の最大値を求めよ。
出典：東京工業大学 2011年度 後期 後期・理系 後期第1問
方針
四面体の体積は座標軸上の切片から である。内接球の半径は により，全表面積を求めれば出る。比の最大化では とおき，対数微分と同じ形で符号を整理して が最大であることを示す。
解答
(1)
四面体 の体積を ，表面積を とする。座標軸上の切片でできる四面体なのでである。
各面の面積は， と がそれぞれ ， が である。また，より， の面積は である。したがってである。
内接球の半径を とすると，四面体の体積は4つの面を底面とする高さ の三角錐の和であるから である。よって
である。
(2)
球 の体積を四面体の体積で割った値を とする。(1)より
である。， とおくと であり， である。 の符号はの符号と同じである。さらにであるから， は で増加し， で減少する。よって最大は で起こる。
このとき であるから，最大値はである。