東京工業大学 2010年度
後期・理系数学 第2問

解答

(1)

$y^{\prime }=\frac{2\log x}{x}$である。したがって $0<x<1$ で減少し，$x>1$ で増加する。また $x=1$ で最小値 $0$ をとる。さらに $x\to +0$ のとき $y\to \infty$，$x\to \infty$ のとき $y\to \infty$ である。よってグラフは $(1,0)$ を最低点とし，左右に上がる形である。

(2)

$b=\log \alpha$ とおく。接線 $L(\alpha )$ の方程式は$y=b^2+\frac{2b}{\alpha }(x-\alpha )$である。共通点を $x=\alpha e^s$ とおくと，$\log x=b+s$ であるから，$(b+s{)}^2=b^2+2b(e^s-1)$すなわち$s^2+2b\{s-(e^s-1)\}=0$を得る。$s=0$ は接点を表す。

$s\ne 0$ の解があるとき，$b=\frac{s^2}{2(e^s-1-s)}$である。ここで $e^s-1-s>0(s\ne 0)$ である。関数 $g(s)=\frac{s^2}{2(e^s-1-s)}$ を考える。ここで $e^s-1-s={\int }_0^s(e^u-1)du$ であり，さらに $(e^u-1)/u\to 1$ だから，$s\to 0$ のとき $e^s-1-s$ は $s^2/2$ と同じ極限比をもつ。よって $g(s)\to 1$ である。また，$g^{\prime }(s)=\frac{s\{(2-s)e^s-s-2\}}{2(e^s-1-s{)}^2}$である。$h(s)=(2-s)e^s-s-2$ とおけば，$h(0)=0$，$h^{\prime }(s)=(1-s)e^s-1$ であり，さらに $h^{\prime \prime }(s)=-s{e}^s$ である。したがって $h^{\prime }$ は $s<0$ で増加し $s>0$ で減少し，$h^{\prime }(0)=0$ であるから，$s\ne 0$ では $h^{\prime }(s)<0$ となる。$h(0)=0$ と合わせて，$s<0$ では $h(s)>0$，$s>0$ では $h(s)<0$ となる。よって $g$ は $s<0$ でも $s>0$ でも単調減少し，

である。

したがって $b\leqq 0$ のとき非接点の共通点はなく，$b>0,b\ne 1$ のとき非接点の共通点が一つある。$b=1$ のときも非接点の共通点はない。ゆえに

である。

(3)

$0<\alpha <1$ とし，$b=\log \alpha$ とおく。このとき $b<0$ である。接線 $L(\alpha )$ の $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $u$ とすると，$0=b^2+\frac{2b}{\alpha }(u-\alpha )$より$u=\alpha \left(1-\frac{b}{2}\right)$である。$b<0$ なので $\alpha <u$ であり，また $\log u=b+\log (1-\frac{b}{2})<\frac{b}{2}<0$ から $u<1$ である。

(2)より，この接線は接点以外で曲線 $C$ と交わらない。したがって求める面積は，$\alpha \leqq x\leqq 1$ における $C$ の下の面積から，$\alpha \leqq x\leqq u$ における接線と $x$ 軸でできる三角形の面積を引けばよい。

であるから，

である。また接線と $x$ 軸でできる三角形の底辺は $u-\alpha =-\frac{\alpha b}{2}$，高さは $b^2$ なので，その面積は $-\frac{\alpha b^3}{4}$ である。よって

である。